Note on a matching problem. (Q2591785)

Es liegen \(n\) Urnen \(U_i\) vor, jede enthält (ganz oder teilweise) \(r\) verschiedene Elemente \(E_1,\,\ldots,\, E_r\), und zwar seien \(E_1,\,\ldots,\, E_r\) in \(U_i\) mit den Häufigkeiten \(p_{i1},\,\ldots,\, p_{ir}\), wobei \(p_{i1} + \cdots + p_{ir} = 1\) (\(i = 1,\, 2,\,\ldots,\, n\)), vertreten. Es werden nun zwei Versuchsreihen hergestellt, indem aus den \(n\) Urnen in gleicher Reihenfolge zufallsmäßig je ein Element herausgegriffen wird (mit Zurücklegen). Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die beiden aus der \(k\)-ten Urne herausgegriffenen Elemente übereinstimmen (gleichgültig, welche sie seien), \(p^2_{k1} + \cdots+p^2_{kr}= p_k\). Im allgemeinen ergibt sich so ein Poissonsches Urnenschema, das im Spezialfall \(p_k = p\) (\(k = 1,\, 2,\,\ldots,\, n\)) in das Bernoullische, zur binomischen Verteilung \((q + p)^n\) führende Urnenschema übergeht. Die Verhältnisse werden an einem vom Verf. ausgeführten Zufallsversuch zahlenmäßig erläutert, der gute Übereinstimmung mit der Theorie aufweist.