Sur la division d'un segment par des points choisis au hasard. (Q2591790)

Die Strecke \((0,1)\) werde durch \(n\) nach blindem Zufall gewählte Punkte in \(n + 1\) Intervalle geteilt, \(Y_n\) sei das kleinste, \(Z_n\) das größte. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Ungleichheit \(n^2Y_n > c \log \log n\) unendlich oft erfüllt ist, ist 0 für \( c > 1\) und 1 für \(c < 1\); sind \(a_1,\, a_2,\,\ldots,\,a_n,\,\ldots\) abnehmende positive Zahlen, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Ungleichung \(Y_n < a_n\) unendlich oft erfüllt ist, gleich 0, falls \(\sum na_n\) konvergiert, gleich 1, falls diese Reihe divergiert. -- Die Wahrscheinlichkeit, daß \(nZ_n < \log n -\log \log \log n - c\) unendlich oft erfüllt ist, ist 0 für \(c> 0\) und 1 für \(c\leqq 0\); die Wahrscheinlichkeit, daß \(nZ_n > \log n + c \log \log n\) unendlich oft erfüllt ist, ist 0 für \(c> 1\) und 1 für \(c \leqq 1\).