Sur les écarts de la courbe de distribution empirique. (Q2591813)

\(S_n (x)\) sei eine durch \(n\) Beobachtungen von \(x\) in gleicher Weise wie \(F_n(x)\) im Referat \textit{Waschakidse} (S. 560) erhaltene Treppenfunktion. Das zugehörige Verteilungsgesetz sei stetig und überall wachsend. \(v_n (\lambda)\) bezeichne die Anzahl der Schnittpunkte der Kurve \(\left( F + \dfrac\lambda{\sqrt n}\right)\) mit den senkrecht verlaufenden Teilstücken der Treppenkurve \(S_n\). \(P[A]\) bedeute die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Ereignisses \(A\). \(t\) sei \(\geqq 0\). Dann gilt: \[ \lim_{n\to\infty} P\left[v_n(\lambda)\leqq t\sqrt n\right] = 1 e^{-\frac{(t+2\lambda)^2}2} \tag{1} \] und \[ \lim_{n\to\infty} P\left[v_n(+ \lambda) + v_n(-\lambda) \leqq t\sqrt n\right] = 1-2\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!} \frac{d^m}{dt^m} t^m e^{-\frac{[t+2\lambda(m+1)]^2}2}. \] Für \(t=0\) geht (2) in die Beziehung von Kolmogoroff für die größte absolute Abweichung \(\sup | S_n - F |\) über: \[ \lim_{n\to\infty} P\left[\sup|S_n-F|\leqq \frac\lambda{\sqrt n}\right] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (-1)^k e^{-2k^2\lambda^2}, \tag{\text{2a}} \] während sich (1) zur entsprechenden Beziehung für die größte positive Abweichung vereinfacht: \[ \lim_{n\to\infty} P \left[ \sup (S_n - F) \leqq\frac\lambda{\sqrt n}\right] = 1 - e^{-2\lambda^2}. \tag{\text{1a}} \] Vgl. \textit{A. Kolmogoroff}, Giorn. Ist. Ital. Attuari 4 (1933), 83-91; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1166.