Sur un problème de M. Marcinkiewicz. (Q2591821)

\(X (t)\) sei eine (mit der Brownschen Bewegung zusammenhängende) Zufallsfunktion, die nach dem Gaußschen Gesetz mit der Streuung \(t\) verteilt sei. \(TM (T) \) sei das Maß der Menge der \(t\), für die \(0 < t < T\), \(X(t)> 0\) ist. \(F (a, T, x)\) bzw. \(G(a,b,T,x)\) seien die Verteilungsfunktionen, von denen \(M (T)\) abhängt, wenn \(X(0) = a\) bzw. \(X(0) = a\) und \(X(T) = b\) bekannt sind. Verf. gibt neben einigen Hilfssätzen die folgenden Ergebnisse an: \[ \begin{aligned} F (0, T, x) &= F (0, x) = \tfrac12\int\limits_0^x [g_1(v) + g_1 (1 - v)]\,dv, \\ g_1 (v) &= \frac1{\pi\sqrt v} \int\limits_v^1\frac{du}{\sqrt{u(1-u)(u-v)}} \qquad (0<v< 1), \\ G(0,0, T,x) &= \frac2\pi\arcsin\sqrt x. \end{aligned} \] Für \(a > 0\), \(0 < x < 1\) gilt \[ F(a,T,x) = 1-F(-a,T,1-x)=\int\limits_0^{Tx}h\left(\frac t{a^2}\right) F\left(0,\frac{Tx-t}{T-t}\right)\frac{dt}{a^2}, \] wo \[ h(u)= \frac1{\sqrt{2\pi}} u^{-\frac32-\frac1{2u}} \] ist. Für \(a > 0\) gilt \[ G (a, b, T, x) = 1 -G(- a, - b, T, 1 - x) = \varepsilon\mathfrak M_t \left\{G \left(0,b,T-t, \frac{Tx-t}{T-t}\right)\right\}, \] wo \(\mathfrak M_t\) das gewogene Mittel mit den Gewichten \[ \frac1{\sqrt{T-t}} e^{-\frac{b^2}{2(T-t)}} h\left(\frac t{a^2}\right)\qquad (0<t<T) \] bedeutet und \[ \varepsilon = \begin{cases} 1 &\text{für}\quad ab<0,\\ e^{-\frac{2ab}T} &\text{für}\quad ab>0\end{cases} \] ist. Wegen \(G (a, 0, T, x) = G(0, a, T, x)\) gestatten die angegebenen Formeln die Bestimmung von \(G (a, b, T, x)\).