Frequency distribution of product and quotient. (Q2591828)

Verf. stellt vier bekannte Sätze über die Verteilung von Produkt, Quotient, Summe und Differenz zweier Zufalisvariablen zusammen und beweist sie elementar: Folgen die beiden voneinander unabhängigen Zufallsvariablen \(x\), \(y\) zwei Verteilungen mit den Wahrscheinlichkeitsdichten \(f (x)\), \(F (y)\), so ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung von \(u = x\cdot y\), \(z=\dfrac xy\), \( s = x + y\), \( w = x y\) \[ \begin{aligned} &P(u)= \int\limits_0^\infty f\left(\frac uy\right)F(y)\frac1y\,dy,\quad Q(z) = \int\limits_0^\infty f(zy) F(y) y\,dy,\\ &\psi(s) =\int\limits_0^\infty f(s - y) F(y)\, dy,\quad R(w) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(w+ y) F(y)\, dy. \end{aligned} \] Hierbei ist angenommen, daß \(x\) im ersten und dritten Fall von 0 bis \(\infty\), im zweiten und vierten von \(-\infty\) bis \(+\infty\) variiert, während \(y\) nur im letzten Fall von \(- \infty\) bis \(+\infty\) variieren darf.