On a class of distributions that approach the normal distribution function. (Q2591830)

Verf. betrachtet eine die Folge der binomischen Verteilungen \(f_n(x) = \left(\dfrac12\right)^n\cdot\dbinom nx\) (\(n =1,\, 2,\,\ldots\)) umfassende Klasse von Verteilungsfolgen, deren \(n\)-te Verteilungsfunktion \(f_n(x)\) allgemein der Rekursionsformel \[ f_n(x) =\frac1{a_n+1}\cdot [f_{n-1} (x - 0) + f_{n-1} (x -1) + f_{n-1} (x-2) + \cdots + f_{n-1} (x -a_n)] \] genügt, wo \(x\) ganze Zahlen bedeuten und \(a_n\) eine im allgemeinen von \(n \) abhängige positive ganze Zahl ist, und beweist: Notwendig und hinreichend dafür, daß die Folge der Verteilungen \(\varphi_n(u) = f_n(x)\) der entsprechenden normierten Variablen \(u = \dfrac{x-\overline x_n}{\sigma_n}\), wo \(\overline x_n\) und \(\sigma_n\) Mittelwert und mittlere Abweichung der der Verteilung \(f_n(x)\) folgenden Variablen \(x\) sind, für \(n\to\infty\) gegen die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Streuung 1 konvergiere, ist, daß \[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sum\limits_{i=2}^n \gamma_i^2}{\left(\sum\limits_{i=2} ^n \gamma_i\right)^2}=0\qquad (4\gamma_i=a_i^2+2a_i) \] ist. -- Der Satz findet Anwendung auf eine bei den Permutationen von \(n \) Elementen auftretende Verteilungsfolge. Wird eine bestimmte Permutation von \(n\) Elementen als Ausgangspermutation angesehen, so ist die Anzahl derjenigen Permutationen derselben Elemente, zu deren Überführung in die Ausgangspermutation \(x\) Vertauschungen benachbarter Elemente erforderlich sind, eine Funktion \(n ! / f_n(x)\). Es wird gezeigt, daß die entsprechende Folge normierter Verteilungen die angegebene notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt, somit gegen die Normalverteilung strebt. -- Durch Deutung der obigen Rekursionsformel als lineare Glättungsformel zeigt Verf., daß iterierte lineare Glättung einer beliebigen Verteilung in der Grenze zwangsläufig auf die Normalverteilung führen muß.