On a characterization of the normal distribution. (Q2591831)

\(f(\alpha)\) sei eine in \((0,1)\) meßbare Funktion, ihre Verteilung \(\sigma_f(\omega)\) bezeichnet das Maß der Punkte \(\alpha\) mit \(f(\alpha) < \omega\). \textit{Theorem}: Wenn für jedes \(\gamma\) die Funktionen \(f_\gamma(\alpha) = \cos\gamma f(\alpha) + \sin\gamma g(\alpha)\), \(g_\gamma(\alpha) = \sin\gamma f(\alpha) -\cos\gamma g (\alpha)\) statistisch unabhängig sind, so besitzen \(f(\alpha)\) und \(g (\alpha)\) Gaußsche Verteilungen mit gleichem Präzisionsmaß \(h\); der Fall \(h = \infty\), d. h. die Verteilung \(\frac12(1 + \mathop{\text{sign}} \omega)\) ist dabei eingeschlossen. Der Satz läßt sich auf \(n\) Dimensionen verallgemeinern.