On some properties of multidimensional distributions. (Q2591834)

Verf. beweist einige Sätze über mehrdimensionale Verteilungen von \(n\) Zufallsvariablen \(x_1,\,\ldots,\, x_n\), von denen einige miteinander durch funktionale Beziehungen verbunden sein können. \(F(x_1, \ldots, x_n)\) sei die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung, und es wird vorausgesetzt, daß die Momente (\(R_n = n\)-dimensionaler Euklidischer Raum) \[ \begin{aligned} &E(x_i\;\;) = \int\!\int\!\cdots\!\int\limits_{R_n} x_i\,dd \ldots dF(x_1,\ldots, x_n) = 0, \\ &E(x_ix_j) = \int\!\int\!\cdots\!\int\limits_{R_n} x_ix_j\,dd \ldots dF(x_1,\ldots, x_n) =\mu_{ij} \end{aligned} \] existieren. Ein System von linearen Beziehungen zwischen den \(n\) Variablen von der Form \(C_1x_1+\cdots+ C_nx_n = 0\) (\(\sum C_i^2\neq 0\)) heißt vollständig, wenn alle diese Beziehungen untereinander linear unabhängig sind und jede weitere lineare Beziehung zwischen den Variablen von diesen Relationen linear abhängt. Die Anzahl der Beziehungen eines vollständigen Systems heißt Dekrement der Verteilung \(F\). Verf. beweist: Das Dekrement von \(F\) ist gleich dem der Matrix \(\|\mu_{ij}\|\) (\(i,\, j = 1,\,\ldots,\, n\)); ist \(k\) das Dekrement von \(F\), so erhält man ein vollständiges System von linearen Beziehungen der Verteilung \(F\), indem man in jeder der \(k\) Gleichungen \[ \left|\begin{matrix} \mu_{ki} \hfill &\mu_{k\,k+1}\hfill &\cdots &\mu_{kn}\hfill \\ \mu_{k+1\,i} \hfill &\mu_{k+1\,k+1}\hfill &\cdots &\mu_{k+1\,n}\hfill \\ \;\vdots\hfill&\;\vdots\hfill &&\;\vdots\hfill\\ \mu_{ni} \hfill &\mu_{n\,k+1}\hfill &\cdots &\mu_{nn}\hfill \end{matrix}\right|=0\qquad (i=1,\,2,\,\ldots,\,k) \] eine beliebige Zeile der Determinante durch \(x_i,\,x_{k+1},\,\ldots,\, x_n\) ersetzt, wobei letztere so gewählt sind, daß \[ \left|\begin{matrix} \mu_{k+1\,k+1}\hfill &\cdots &\mu_{k+1\,n}\hfill\\ \;\vdots\hfill &&\;\vdots\hfill\\ \mu_{n\,k+1}\hfill &\cdots &\mu_{nn}\hfill \end{matrix}\right| >0. \] Ferner wird untersucht, wie sich das Dekrement ändert, wenn die \(n\) Variablen einer linearen Transformation unterworfen werden. Schließlich wendet Verf. die Resultate auf die von Cramer eingeführten mehrdimensionalen Normalverteilungen von durch lineare Relationen verknüpften Zufallsvariablen an.