Moments about the arithmetic mean of a hypergeometric frequency distribution. (Q2591858)

Verf. wendet ein von \textit{Kirkham} (Ann. math. Statist., Ann Arbor, 6 (1935), 96-101) zur rekursiven Berechnung der Momente der binomischen Verteilung angegebenes elementares Verfahren auf die hypergeometrische Verteilung \[ P_v=\binom \alpha v\binom \beta{n-v}\binom Nn^{-1} \] mit \(\alpha+\beta = N\) an. Durch binomische Entwicklung des Faktors \((v + 1)^{k-1}\) in der Identität \[ m_k=\sum_{v=0}^n v^k\cdot P_v =\frac{n\alpha}N \cdot \sum_{v=0}^{n-1}(v+1)^{k-1}\cdot P_v',\quad \text{wo}\quad P_v^\prime=\binom{\alpha-1}v \binom\beta{n-1-v}\binom{N-1}{n-1}^{-1}, \] ergibt sich für die auf den Nullpunkt bezogenen Momente \(m_k\) der hypergeometrischen Verteilung \(P_v\) die Rekursionsformel \[ m_k=\frac{n\alpha}N\left\{ \nu_{k-1} +\binom{k-1}1\nu_{k-2} + \binom{k-1}2\nu_{k-3}+\cdots+1\right\}, \] die \(m_k\) auf die entsprechenden Momente \(\nu_k\) der hypergeometrischen Verteilung \(P_v'\), \(\nu_k = \sum\limits_{v=0}^{n-1} v^k \cdot P_v'\), niedrigerer Ordnung zurückführt.