Extensions stochastiques des notions de série, d'intégrale et d'aire. (Q2591867)

1) Jedem Glied \(u_h\) einer semikonvergenten Reihe \(\sum u_h\) entspreche eine positive Zahl \(\alpha_h\), und es sei z. B. \(\sum\alpha_h\) endlich. Mit einer Wahrscheinlichkeit, die \(\alpha_h\) proportional ist, werde zufällig ein \(u_h\) ausgewählt und als \(U_1\) bezeichnet. Nach Fortstreichung dieses \(u_h\) wird auf gleiche Weise \(U_2\) erhalten usw. Fast sicher enthält die Folge \(U_1,\, U_2,\,\ldots,\, U_n,\,\ldots\) jedes \(u_h\). Setzt man \(S_n = U_1 + U_2 + \cdots + U_n\), so gibt es zwei Zahlen \(s'\) und \(s''\), derart daß \[ \mathfrak W \{\liminf_{n\to\infty} S_n = s',\;\limsup_{n\to\infty} S_n = s''\} = 1 \] ist. Haben \(s'\) und \(s''\) den gleichen Wert \(s\), so heißt die Reihe \(\sum U_n\) stochastisch konvergent bezüglich der Gewichte \(\alpha_h\), \(s\) ihre stochastische Summe. Ein Beispiel zur Erläuterung. 2) Der Punkt \(M (t)\) mit den Koordinaten \(X(t)\), \(Y (t)\), \(Z (t)\) durchlaufe für \(0 \leqq t \leqq 1\) die Kurve \(C\). Zwischen 0 und 1 mögen die Werte \(t_1,\, t_2,\,\ldots,\, t_n,\,\ldots\) zufällig gewählt werden. \(L_n\) sei der durch \(M(0)\), \(M(1)\) und die \(M(t_\nu)\) mit \(\nu = 1,\, \ldots,\, n-1\) als Ecken bestimmte, \(C\) einbeschriebene Polygonzug. \(P\), \(Q\), \(R\) seien Funktionen von \(X\), \(Y\), \(Z\). Das ``stochastische Integral'' \[ I=\int\limits_C(P\,dX + Q\,dY+R\,dZ) \] wird der fast sicher existierende Grenzwert der über die Polygonzüge \(L_n\) erstreckten entsprechenden Integrale \(I_n\) für \(n\to\infty\) sein. 3) Anwendung auf Flächeninhaltsbestimmung.