Mouvement brownien linéaire et mouvement brownien plan. (Q2591873)

\(X (t)\) sei eine stochastische Funktion mit der charakteristischen Funktion \(e^{-t\frac{z^2}2}\); \(Y (t)\) bezeichne das Maximum von \(X(t')\) für \(t' \leqq t\). -- Weiß man, daß für einen gegebenen Wert \(t\) \ \(X(t) = Y (t)\) gilt, so hat man \[ W\{X (t) > x \sqrt t\} = e^{-\frac{x^2}2}\qquad (x > 0). \] \(E\) sei die Menge der Wurzeln der Gleichung \(X(t) = x\), \(I(E')\) eins der Intervalle, die der Komplementärmenge von \(E\) angehören; kennt man den Anfangspunkt \(t'\) eines solchen Intervalles, und weiß man, daß seine Länge \(L\) eine positive Zahl \(l_0\) überschreitet, so gilt \[ W\{L > l\} = \sqrt{\frac{l_0}l} \qquad (l > l_0). \] \(N (t, l)\) sei die Anzahl der Intervalle \(I(E')\) in \((0, t)\) von einer Länge größer als \(l\); dann besitzt \(N (t, l) \cdot \sqrt l\) fast sicher eine positive Grenzfunktion \(S (t, x)\), und \[ \varphi(t,x)=\sqrt{\frac\pi2}\int\limits_{-\infty}^x S(t,\zeta)\,d\zeta \] ist das Maß der Werte \(t'\), für die \(t' < t\), \(X(t') < x\) gilt. \(M (t)\) sei der Punkt in der Ebene mit den Koordinaten \(X(t)\) und \(X_1(t)\), wo auch \(X_1(t)\) die gleichen Eigenschaften habe wie \(X(t)\). Die Fläche, die durch den Bogen \(0 \leqq t'\leqq t\) von \(M (t)\) und seine Sehne begrenzt ist, hat fast sicher ein Maß \(A(t)\). \(A(t) \) genügt der stochastischen Differentialgleichung \[ \varDelta A(t) = \tfrac12 R\eta\sqrt{\varDelta t} + A_1(t,\varDelta t) \] mit \(R^2= X^2+ X_1^2\); \(\eta\) ist eine reduzierte Gaußsche Variable, die von \(R\) und \(A(t) \) unabhängig ist; \(A_1(t, \varDelta t)\) hängt für jedes \(t\) vom gleichen Gesetz ab wie \(A (\varDelta t)\) und besitzt den Mittelwert 0. Hieraus lassen sich Aussagen über \(A(t)\) machen. Alles ohne Angabe der Beweise.