A note on confidence intervals and inverse probability. (Q2591891)

Verf. knüpft an die prägnante Darlegung \textit{Neyman}s (J. R. statist. Soc., London, 97 (1934), 558-625; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1310; insbesondere S. 589-593) der Abgrenzung von ``Vertrauensintervallen'' an: Wenn \(p (x, \theta)\) die Verteilung einer Größe \(x\) (\(x_1\leqq x \leqq x_2\)) in Stichproben, \(\theta\) (\(\theta_1\leqq\theta\leqq\theta_2\)) ein Parameter der Gesamtheit, \(x=f(\theta)\) und \(x = g (\theta)\) mit \(f(\theta)< g (\theta)\) monotone Funktionen der Beschaffenheit sind, daß für alle \(\theta\) \[ \int\limits_{f(\theta)}^{g(\theta)} p (x, \theta)\, dx= 1 - \varepsilon \] ist, so besitzt die Wahrscheinlichkeit für die Gültigkeit der Ungleichung \(g^{-1}(x) \leqq\theta\leqq f^{-1}(x)\) den Wert \(1 - \varepsilon\), unabhängig von der apriorischen Verteilung \(\psi(\theta)\) des Parameters \(\theta\). Dies gilt nur bei beliebig variierendem \(x\), nicht aber innerhalb nur derjenigen Stichproben, für welche \(x = x'\) einen festen Wert hat. Verf. bringt nun diese Theorie mit dem Standpunkt der ``inverse probability'' in Zusammenhang: Wenn man von der aposteriorischen Wahrscheinlichkeit für die obige Ungleichung mit festem \(x'\), \[ \eta(x')=\dfrac{\int\limits_{g^{-1}(x')}^{f^{-1}(x')} \psi(\theta) p(x',\theta)\,d\theta} {\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \psi(\theta)p(x',\theta)\,d\theta} \] ausgeht, so ist der Mittelwert derselben in bezug auf \(x\) \[ \bar\eta(x)=\int\limits_{x_1}^{x_2}\eta(x)\, dx \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\psi(\theta) p (x, \theta)\, d\theta. \]