Sur l'interpolation et extrapolation des suites stationnaires. (Q2592013)

Jeder ganzen Zahl \(t\) entspreche eine reelle stochastische Veränderliche \(x(t)\) mit dem Mittelwert 0 und der Streuung 1; die Folge \(x(t)\) sei stationär, d. h. \[ R(k)=\mathfrak{E} \{ x(t+k) \,x(t) \} \] hänge nur von \(k\) ab. \textit{Interpolationsproblem}: Die lineare Form \[ \begin{multlined} L_{2n}=a_1x(t-n)+a_2x(t-n+1)+\cdots+ \\ +a_nx(t-1)+a_{n+1}x(t+1)+a_{n+2}x(t+2)+\cdots+a_{2n}x(t+n) \end{multlined} \] werde nach der Methode der kleinsten Quadrate durch die Bedingung \[ \mathfrak{E} \{ x(t)-L_{2n} \}^2= \text{ min} \] bestimmt. Die \(a_i\) hängen nur von \(R(k)\) ab. Es gilt \[ \lim\limits_{n \to \infty} \mathfrak{E} \{ x(t)-L_{2n} \}^2=\left( \int\limits_{0}^{\pi} \frac{d \lambda}{s(\lambda)} \right)^{-1}, \] wo \(s(\lambda)\) die fast überall existierende Ableitung von \[ S(\lambda)=R(0) \,\lambda+2 \sum_{k \neq 0} \frac{R(k)}{k} \,\sin \, k \lambda \] ist (vgl. \textit{H. Wold}, A study in the analysis of stationary time series, Uppsala 1938; F.~d.~M. 64\(_{\text{II}}\)). Analoge Betrachtungen über das \textit{Extrapolationsproblem}, wo statt \(L_{2n}\) die linearen Formen \[ M_n^{(k)}=a_1x(t-n-k)+a_2x(t-n-k+1)+\cdots+a_nx(t-k) \] durch die Bedingung \[ \mathfrak{E} \{ x(t)-M_n^{(k)} \}^2= \text{ min} \] bestimmt werden. Beweise fehlen.