Die Grundformen der ``Bevölkerungspyramide''. (Q2592053)

Der aus der Bevölkerungsstatistik bekannte Begriff der ``Bevölkerungspyramide'' wird hier in ein mathematisches Gewand gekleidet. Ist \(G(t)\) der Geburtenverlauf in Abhängigkeit von der Zeit \(t\), \(Z(t_1, \,\tau)\) die Altersverteilung zur Zeit \(t_1\) (\(\tau\) das Alter, \(0 \leqq \tau \leqq \tau_0=90\) Jahre), so gilt unter der Voraussetzung gleicher Sterblichkeitsverhältnisse \[ \frac{Z(t_1, \,\tau)}{G(t_1-\tau)}=\frac{Z(t_2, \,\tau)}{G(t_2-\tau)}= \text{ const}. \] Es kommt jetzt nur noch darauf an, die Konstante zu ermitteln, dann kann man jede Altersverteilung \(Z(t, \,\tau)\) auf eine gegebene \(Z(t_1, \,\tau)\) unter Benutzung von \(G(t)\) umrechnen. Verf. nimmt nun für \(-\tau_0 \leqq t \leqq 0\) eine konstante Geburtenhäufigkeit \(G_0\) an (was er hätte näher begründen müssen!) und erhält so zur Zeit \(t_0\) die Altersverteilung \(Z(t_0, \,\tau)=\dfrac{G(t_0-\tau)}{G_0} Z_0(\tau)\) oder für die Gesamtbevölkerung \(B(t_0)\) den Ausdruck \[ B(t_0)=\int\limits_{0}^{t_0} \frac{G(t_0-\tau)}{G_0} Z_0(\tau) d \tau. \] Unter gewissen analytischen Vereinfachungen für die Funktion \(G(t)\) werden die Verhältnisse näher diskutiert, und man erhält die analytischen Ausdrücke für die bekannten Altersverteilungen einer wachsenden, schrumpfenden oder stationären Bevölkerung.