On an integral equation in population analysis. (Q2592058)

In einer abgeschlossenen Bevölkerung bezeichne \(N(t)\) die Gesamtzahl, \(B(t)\) die Geburtenziffer zur Zeit \(t\), \(p(a)\) die Erlebenswahrscheinlichkeit des Alters \(a\), dann gilt \[ N(t)=\int\limits_{0}^{\infty} B(t-a) \,p(a) \,da. \tag{1} \] Die Aufgabe ist die Bestimmung von \(B(t)\) bei bekanntem \(N(t)\) und \(p(a)\). Es bezeichne \(\varphi_{\nu}(t)\) die \(\nu\)-te Ableitung von \(N(t) =\varphi_0(t)\) dann setzt Verf. an \[ B(t)=\sum_{\nu=0}^{\infty} (-1)^{\nu} \frac{c_{\nu}}{\nu!} \varphi_{\nu}(t); \tag{2} \] die Vorzahlen \(c_{\nu}\) sind dabei die gleichen wie die in der Entwicklung von \[ \beta(r)=\left( \int\limits_{0}^{\infty} e^{-ra} \,p(a) \,da \right)^{-1} = \sum_{\nu=0}^{\infty} (-1)^{\nu} \frac{c_{\nu}}{\nu!} r^{\nu}. \] Sind \(\lambda_{\nu}\) die Thieleschen Halbinvarianten von \(p(a)\), d. h. \[ \sum_{\nu=1}^{\infty} (-1)^{\nu-1} \frac{\lambda_{\nu}}{\nu!} r^{\nu} = \log \,\beta(r)+\log \, \int\limits_{0}^{\infty} p(a) \,da, \] also \(\lambda_1\) das mittlere Lebensalter, so ist, \(\theta=t-\lambda_1\) gesetzt, \[ B(t) \int\limits_{0}^{\infty} p(a) \,da=\varphi_0(\theta)\frac{\lambda_2}{2!} \varphi_2(\theta)+\frac{\lambda_3}{3!} \varphi_3(\theta)\frac{\lambda_4-3\lambda_2^2}{4!} \varphi_4(\theta)+\cdots . \tag{3} \] Dieser Lösung gibt Verf. eine zweite Form, die für die numerische Rechnung geeigneter ist. Man berechnet erst die Momente \[ m_n=\int\limits_{0}^{\infty} a^n \,p(a) \,da \] von \(p(a)\), daraus mittels der für \(k = 1, \,2, \ldots\) gültigen Formeln \[ m_{n+k}=\lambda_{n1} m_{n+k-1}+{k-1\choose 1} \, \lambda_{n2} m_{n+k-2}+{k-1\choose 2} \,\lambda_{n3} m_{n+k-3}+\cdots+ \lambda_{nk} m_n \] die Halbinvarianten von \(a^n \,p(a)\), hieraus mittels \[ M_n=m_n \,\exp \left( -r \lambda_{n1}+\frac{r^2}{2!} \lambda_{n2} -\frac{r^3}{3!} \lambda_{n3} \pm \cdots \right) \] die Momente von \(e^{-ra} \,p(a)\), sowie deren Halbinvarianten \(\varLambda_{\nu}\) aus \[ M_n=\varLambda_1 M_{n-1}+{n-1\choose 1} \,\varLambda_2 M_{n-2}+ {n-1\choose 2} \,\varLambda_3 M_{n-3}+\cdots+\varLambda_n M_0, \;\; n=1, \,2, \ldots \] Hieraus findet man die \(\beta_{\nu}\) mittels der Gleichungen \[ \beta_n=\varLambda_1 \beta_{n-1}-{n-1\choose 1} \,\varLambda_2 \beta_{n-2}+ {n-1\choose 2} \,\varLambda_3 \beta_{n-3} \mp \cdots + (-1)^{n-1} \varLambda_n \beta_0, \;\; n=1, \,2, \ldots \] Dann gilt die Entwicklung \[ \frac{B(t)}{N(t)}=\beta_r+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\beta_n}{n!} \, \left[ \frac{\varphi_n}{\varphi_0} \right]_0, \tag{4} \] in der mit \(\left[ \dfrac{\varphi_n}{\varphi_0} \right]\) der Ausdruck bezeichnet ist, der unter der Annahme eines von \(t\) abhängigen \(r\) nach Berechnung von \(\dfrac{\varphi_n}{\varphi_0}\) durch Nullsetzen von \(r\) entsteht. Ein Anhang berechnet die hier eingeführten Größen im Falle der logistischen Funktion \(N(t)\) und gibt ein durchgerechnetes Zahlenbeispiel.