Der Grenzwert der Erneuerungszahlen. (Q2592061)

Für eine Ausscheidefunktion \(p_\nu\) (\(\nu=1\), 2, \dots, \(k\)) gelte \(p_k\neq 0\), \(\sum\limits_{\nu=1}^kp_\nu=1\) und \(0\leqq p_\nu < 1\). Die Erneuerungszahlen \(\varphi_n\) für alle natürlichen Zahlen \(n\) sind definiert durch \[ \varphi_n=\sum_{\nu=1}^kp_\nu\varphi_{n-\nu} \quad \text{mit} \quad \varphi_0 = 1. \] Gefragt ist, ob sich \(\varphi_n\) mit wachsendem \(n\) einem Grenzwert nähert. Es wird gezeigt: Haben die \(\nu\), deren \(p_\nu \neq 0\) ist, den größten gemeinsamen Teiler \(d\) (der übrigens auch gleich 1 sein kann; in dieser Form ist der Satz schon früher vom Verf. bewiesen worden) so gilt: \[ \lim_{\mu\to \infty}\varphi_{\mu\lambda}=\frac d{\sum\limits_{\nu=1}^k \nu p_\nu}=\frac dH. \] Dabei durchläuft \(\mu\) die Zahlen 1, 2, \dots, und \(\varphi_n\) ist an den Stellen \(n\), die keine ganzen Vielfachen von \(d\) sind, gleich Null.