Tétraèdres inscrits dans une biquadratique et conjugués par rapport à une quadrique. (Q2592306)

Vorgegeben seien eine Fläche zweiter Klasse \(\varSigma \) und zwei zu ihr konjugierte Flächen zweiter Ordnung \(Q_1\), \(Q_2\). \ \(\varSigma \) ist dann zu allen Flächen des Büschels \((Q_1, Q_2)\) konjugiert. Man kann daher sagen, daß \(\varSigma \) zur Basiskurve vierter Ordnung \(\mathfrak B\) des Büschels konjugiert ist. Nun sei \(T\) ein Polartetraeder einer Fläche \(\varSigma \). Läuft die Kurve \(\mathfrak B\) durch die Eckpunkte von \(T\), so ist klar, daß \(\varSigma \) zu \(\mathfrak B\) konjugiert ist. Ziel der Arbeit ist die Umkehrung dieses Satzes, nämlich der Nachweis, daß es Tetraeder \(T\) gibt, wenn eine Kurve vierter Ordnung \(\mathfrak B\) und eine zu ihr konjugierte Fläche zweiter Klasse \(\varSigma \) vorgegeben sind. Verf. zeigt, daß es im allgemeinen zwei Tetraeder \(T_1\), \(T_2\) gibt, und daß das allgemeine System \((\mathfrak B, T_1, T_2, \varSigma )\) von 23 Parametern abhängt. Im Spezialfalle gibt es \(\infty ^1\) Tetraeder \(T\) und das System \((\mathfrak B,\varSigma )\) hängt von 20, das System \((\mathfrak B, T_1, T_2, \varSigma )\) von 22 Parametern ab. Man erhält die Figur des allgemeinen Falles, wenn man von einem Oktupel assoziierter Punkte ausgeht und dieses in zwei Quadrupel aufteilt. Man legt durch die acht Punkte eine Kurve vierter Ordnung \(\mathfrak B\). Die Fläche zweiter Klasse, die beide Tetraeder zu Polartetraedern hat, wird die Fläche \(\varSigma \). Um ein System \((\mathfrak B, \varSigma )\) von 20 Parametern zu erhalten, geht man von einer Kurve vierter Ordnung \(\mathfrak B\) und dem gemeinsamen Polartetraeder \(\varTheta \) des durch \(\mathfrak B\) bestimmten Flächenbüschels aus. \(\varDelta \), \(\varDelta '\) sei ein Paar gegenüberliegender Kanten des Tetraeders \(\varTheta \), \(A\) ein beliebiger Punkt von \(\mathfrak B\), \(A'\) der dem Punkte \(A\) in der windschiefen Involution \((\varDelta,\varDelta ')\) zugeordnete Punkt. Eine beliebige Ebene durch \(A'\) schneide \(\mathfrak B\) in \(B\), \(C\), \(D\). Dann ist \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ein Tetraeder \(T\). Ebenso erhält man ein zweites Tetraeder. \(\varSigma \) ist die Fläche zweiter Klasse, die beide Tetraeder zu Polartetraedern hat. Zum System \((\mathfrak B, \varSigma )\) gehören dann \(\infty ^1\) Tetraeder \(T\). -- Untersuchung der Fälle, in denen \(\mathfrak B\) rational wird oder zerfällt.