Trigonometria hermitiana. (Q2592314)

Ähnlich der sphärischen Trigonometrie gibt es auch eine Trigonometrie der elliptischen hermiteschen Ebene, von der einige Elemente entwickelt werden. Beschreibt man die komplexen Punkte der hermiteschen Ebene durch die Dreiervektoren \(x = (x_0, x_1, x_2)\) ihrer homogenen Koordinaten und ist \(\bar x\) der konjugiert-komplexe Vektor, so wird der Skalar \[ (x\bar y) = x_0\bar y_0 + x_1\bar y_1 + x_2\bar y_2 \] als Skalarprodukt, der Vektor \[ z = x \times y, \] dessen Koordinaten die Determinanten der Matrix der Punkte \(x\), \(y\) sind, als vektorielles Produkt bezeichnet. Durch die Forderung \((x\bar x) =1\) läßt sich der Vektor des Punktes \(x\) bis auf einen unimodularen Faktor \(e^{i\mu }\) \textit{normieren}. Der elliptisch-hermitesche \textit{Abstand} \(\vartheta \) zweier Punkte \(x\), \(y\) ist gegeben durch die Formel \[ \cos ^2\vartheta =\frac {(x\bar y)\,(y\bar x)}{(x\bar x)\,(y\bar y)},\quad\;0\leqq \vartheta \leqq \frac {\pi}{2}. \] Alle zu einem festen Punkte \(y\) orthogonalen Punkte \(x\) bilden eine Gerade, die \textit{Polare} von \(y\). \ \(y\) selbst ist ihr \textit{Pol}. Sind \(x\), \(y\) zwei normierte orthogonale Punkte, so beschreibt der normierte Punkt \(p = x\,\cos \tau + y\,\sin \tau \) (\(\tau =\) reeller Parameter) eine (eindimensionale) \textit{Normalkette} \(N_{\text{I}}\). Ähnlich durchläuft der normierte Punkt \[ p= \xi x+\eta y+\zeta z \] eine (zweidimensionale) \textit{Normalkette} \(N_{\text{II}}\), wenn \(x\), \(y\), \(z\) drei paarweise orthogonale normierte Punkte und \(\xi \), \(\eta \), \(\zeta \) drei reelle Parameter sind, für welche gilt: \[ \xi ^2+\eta ^2+\zeta ^2 =1. \] Jede zweidimensionale Kette \(N_{\text{II}}\) geht aus jener der reellen Punkte der hermiteschen Ebene durch hermitesche Bewegung hervor. Haben die beiden Ketten \(N_{\text{I}}\) und \(N_{\text{I}}'\) einen Punkt \(r\) gemeinsam, und sind \(s\) und \(s'\) ihre zu \(r\) orthogonalen normierten Punkte, so haben sie zwei Invarianten \(\lambda \), \(\varphi \), für welche gilt: \[ \cos \lambda \cdot e^{i\varphi }=(s\bar s'). \] Zu jedem Dreieck \(x\), \(y\), \(z\) bestimmen die Pole \(X\), \(Y\), \(Z\) seiner Seiten ein \textit{Polardreieck}. Sind \[ 0<\xi,\eta,\zeta, \boldsymbol \varXi,\boldsymbol H, \boldsymbol Z < \frac {\pi }{2} \] die Seiten der beiden Dreiecke, so gilt \[ \overline X = \frac {y\times z}{\sin \xi }\;\;(\text{und zyklisch, sowie invers d. h. polar}), \] woraus folgt: \[ \frac {\sin \boldsymbol \varXi }{\sin \xi } = \frac {\sin \boldsymbol H}{\sin \eta } =\frac {\sin \boldsymbol Z}{\sin \zeta }, \] der \textit{Sinussatz} der elliptischen hermiteschen Trigonometrie (\textit{J. L. Coolidge}, Ann. Math., Princeton, 21 (1920) 11-28; F. d. M. 47, 695 (JFM 47.0695.*)). Für das Dreieck \(x\), \(y\), \(z\) ist der Ausdruck \[ \frac {(y\bar z)\,(z\bar x)\,(x\bar y)}{(x\bar x)\,(y\bar y)\,(z\bar z)} = \lambda \cdot e^{i\omega } \] eine Bewegungsinvariante. Es ist dabei \(|\lambda | = \cos \xi\,\cos \eta\,\cos \zeta \), und \(\omega \) ist eine neue \textit{Bewegungsinvariante} des Dreiecks. Es gilt der Satz: \(e^{i\omega }=1\) ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß das Dreieck \(x\), \(y\), \(z\) einer Normalkette \(N_{\text{II}}\) angehört. Der Beweis dafür gelingt leicht an Hand einer kanonischen Lage des Dreiecks, die, ebenso wie das Dreieck selbst (gegen hermitesche Bewegungen) von vier reellen wesentlichen Parametern abhängt. Neben den Coolidgeschen Sinussatz tritt in neuer Weise der sogenannte \textit{Kosinussatz} der elliptischen hermiteschen Trigonometrie: \[ \cos \boldsymbol \varXi = \Bigl|\,\frac {\cos \eta\,\cos \zeta \, e^{-i\omega }-\cos \xi }{\sin \eta\,\sin \zeta } \,\Bigr|\;\;\;\text{(und zyklisch, sowie invers)}. \] Es folgt leicht die Studysche Ungleichung (\textit{E. Study}, Math. Ann., Leipzig, 60 (1905) 321-378; F. d. M. 36, 614 (JFM 36.0614.*)): \[ \xi <\eta +\zeta . \] Man kann die Metrik des Dreiecks auch durch eine \textit{neue Art von Winkeln} beschreiben: Sind \(s\) und \(s'\) die zur Ecke \(x\) orthogonalen Punkte auf den Ketten \(N_{\text{I}}\), die \(x\) mit \(y\) bzw. \(z\) verbinden, und setzt man \((s\bar s')= e^{i\varphi }\,\cos \boldsymbol \varXi \), so wird \[ e^{i\varphi } \cos \boldsymbol \varXi =\frac {e^{i\omega }\cos \xi \cos \eta\,\cos \zeta }{\sin \eta\,\sin \zeta }. \] Nimmt man nur den Imaginärteil, so findet man die neuen Winkel \(\varphi \), \(\chi \), \(\psi \) des Dreiecks, definiert durch \[ \sin \varphi =\frac {\cos \xi }{\cos \boldsymbol \varXi \,\sin \eta \,\sin \zeta }\, \sin \omega \quad\;(\text{und zyklisch, sowie polar}). \] Im Falle, wo \(e^{i\omega }\) reell ist, oder im Falle der Koinzidenz der drei Pole \(X\), \(Y\), \(Z\) erhält man die Formeln der sphärischen Trigonometrie. Vgl. hierzu die Ergänzung von \textit{H. Terheggen} (Zur analytischen Geometrie auf der Geraden von Hermite als Grenzfall der Geometrie in der Hermitischen Ebene und ihr Zusammenhang mit der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie, Jber. Deutsche Math.-Verein. 50 (1940), 24-34; F. d. M. 66).