Die affine duale Ebene und eine ihr aufgeprägte Maßbestimmung in einer Abbildung auf den \(R_4\). (Q2592315)

Im Grunde genommen ist die Arbeit die darstellende Geometrie (d. h. die ebene konstruktive Behandlung) des Studyschen radialprojektiven Raumes, aus dem man aber eine gewisse Gerade und deren zugehörige Normalen entfernt. Sie kann aber auch als Deutung der ``analytischen'' Transformationen zweier dualer Veränderlichen dienen (die vielleicht als \textit{pseudo-äquilonge} Transformationen bezeichnet werden können). In enger Analogie zu der Segreschen punktuellen Abbildung der affinen komplexen Ebene auf den affinen \(R_4\), in dessen uneigentlichem \(R_3\) eine elliptische Geraden-Kongruenz vorgegeben ist, untersucht Verf. die Abbildung der affinen dualen Ebene auf den mit einer unendlich entfernten parabolischen Kongruenz ausgestatteten affinen \(R_4\). Bei der Abbildung gehen die dualen Geraden in die synektischen Ebenen über (d. h. die Ebenen, die den uneigentlichen \(R_3\) nach den Geraden der parabolischen Kongruenz schneiden). Gewisse Erscheinungen, die bei allen ebenen projektiven Geometrien mit vorgegebenem Ring (mit Einselement und lauter Nullteilern als Singulärelementen) auftreten, werden durch diese Abbildung veranschaulicht, z. B. zwei duale Geraden schneiden sich entweder in einem (eigentlichen bzw. uneigentlichen) Punkte oder in einem Dualfaden, da zwei synektische Ebenen entweder einen Punkt oder eine die Brennlinie der parabolischen Kongruenz treffende Gerade gemeinsam haben. Sind \(u = x_1+\varepsilon x_3\), \(v = x_2+\varepsilon x_4\), \(\varepsilon ^2= 0\) die affinen Koordinaten eines Punktes in der Dualebene, dann deutet Verf. die Stelle \((u, v)\) durch die Punkte \((x_1, x_2) = P'\), \((x_3, x_4) = P^{\prime\prime }\) in der euklidischen Zeichenebene. Diese neue Abbildung gestattet eine konstruktive Behandlung der binären bzw. ternären Ketten. Zum Schluß enthält die Arbeit eingehende Betrachtungen zu der parabolisch-hermiteschen Maßbestimmung und der zugehörigen Bewegungsgruppe \(G_9\) der dualen Ebene.