Sull' equazione differenziale di un sistema \(\infty ^1\) di coniche osculatrici a una conica data. (Q2592321)

Gegeben sei ein fester Kegelschnitt \(K\), etwa: \(xy - z^2=0\); betrachtet wird das dreidimensionale Linearsystem \(\varSigma \) der Kegelschnitte \(\varGamma \), die durch einen festen Punkt \(P(0, 1, 0)\) von \(K\) und einen weiteren Punkt \(Q(k,1, 0)\) außerhalb \(K\) laufen: \[ (ax + by + cz)\,z + x(x - ky) = 0. \] Die im Punkte \((\theta ^2, 1,\theta )\) zu \(K\) oskulierende Kurve \(\varGamma \) hat also die Gleichung \[ \theta ^3 yz - 3\theta ^2z^2 + 3\theta xz - \bigl[kz^2+ x (x - ky)\bigr] = 0.\tag{1} \] Verf. stellt zunächst die Differentialgleichung der Schar (1) auf und berechnet ihre Diskriminante; diese enthält den Faktor \[ x^2\,(x - ky) + kz^2\,(3x + ky),\tag{2} \] der, gleich Null gesetzt, den Cayleyschen tac-locus, d. h. den Ort der Berührungspunkte zweier verschiedener Kurven (1) bezeichnet; womit ein erstes explizites Beispiel eines tac-locus gegeben ist. Man kann diese Eigenschaft der Kurve (2) auch unmittelbar geometrisch ableiten; sie ist eine rationale \(C_3\) mit dem Doppelpunkt \(P\), die durch \(Q\) geht und \(K\) in den gleichen Punkten berührt, wie die von \(Q\) aus gezogenen Tangenten.