Una questione elementare studiata con mezzi superiori. Saggio sul problema delle sezioni di un diedro. (Q2592353)

Gegeben ist das von den Ebenen \(\alpha \), \(\beta \) mit der Schnittgeraden \(z\) gebildete Dieder vom Öffnungswinkel \(\varphi \leqq \dfrac {\pi }{2}\); gesucht wird die Gesamtheit der \(\infty ^1\) Ebenen durch einen gegebenen Punkt \(S\) von \(z\), die \(\alpha \), \(\beta \) in zwei Geraden \(a\), \(b\) schneiden, die einen gegebenen Winkel \(\theta \leqq \dfrac {\pi }{2}\) miteinander bilden. Sie umhüllt einen elliptischen Kegel \(\psi \) vierter Klasse. Schneidet man die Figur mit einer zu \(z\) senkrechten Ebene \(\pi \) im Abstände 1 von \(S\), wobei der isotrope Kegel mit dem Scheitel \(S\) in \(\pi \) den Kreis \(K\) erzeugt, und \(x\), \(y\) die Spurgeraden von \(\alpha \), \(\beta \), \(A\), \(B\) die Spurpunkte von \(a\), \(b\) werden, so ist der Schnitt von \(\psi \) mit \(\pi \) eine Kurve \(\varGamma \), die als Hülle der Geraden erzeugt wird, die zwischen \(x\), \(y\) einen Abschnitt vorgegebener Länge \(\theta \), in der durch \(K\) bestimmten nichteuklidischen Metrik gemessen, besitzen; dual entsteht eine Kurve \(C\) als Ort der Punkte, von denen aus eine gegebene Strecke \(XY\) der nichteuklidischen Länge \(\varphi \) unter dem nichteuklidischen Winkel \(\theta \) erscheint. \(\varGamma \) hat die Plückerschen Charaktere \(n = 8\), \(m = 4\); \(d = 8\), \(k = 12\); \(\tau = 2\), \(i =0\), \(C\) hat entsprechend die Ordnung 4 und zwei Doppelpunkte in \(X\), \(Y\). Diese durch projektive Überlegungen gewonnenen Ergebnisse bestätigt Verf. auch an der rechnerischen Durchführung und analysiert die Fälle der Entartung. Die Realitätsverhältnisse der Kurven \(\varGamma \), \(C\) fallen ganz verschieden aus, je nachdem \(\theta >\varphi \) oder \(\theta <\varphi \) ist; für \(\theta =\varphi \) sind die Kurven rational. Schließlich verfolgt Verf. die Uniformisierung dieser Kurven durch elliptische Funktionen.