Aufgabe 245. (Gestellt in Jber. Deutsche Math.-Verein. 47 (1937), 39 kursiv.) Lösung von H. S. M. Coxeter. (Q2592388)

Die Aufgabe lautet: Eine eigentliche orthogonale Transformation in einem \(2n\)-dimensionalen Euklidischen Raum kann bekanntlich aus \(n\) Drehungen in absolut senkrechten Ebenen mit den Drehwinkeln \(\xi _1,\xi _2,\ldots,\xi _n\) zusammengesetzt werden. Im Fall von \(2n +1\) Dimensionen kann eine uneigentliche orthogonale Transformation aus \(n\) Drehungen derselben Art und einer Spiegelung zusammengesetzt werden. Man erhält nun spezielle derartige orthogonale Transformationen, wenn man \(m\) Spiegelungen an Hyperebenen hintereinander ausführt, wobei \(m = 2n\) bzw. \(m = 2n +1\) die Dimensionszahl sei. Der Kosinus des (inneren) Winkels zwischen der \(i\)-ten und der \(k\)-ten Hyperebene sei mit \(c_{ik}\) bezeichnet. Unter welchen Bedingungen sind \[ \pm \cos \frac {\xi _1}{2},\;\,\pm \cos \frac {\xi _2}{2},\ldots, \pm \cos \frac {\xi _n}{2}\;\;\;\text{(und \;0 \;im \;Fall \;} \,m = 2n + 1) \] die Wurzeln der Gleichung \[ \begin{gathered} \left|\,\begin{matrix} \l&\;\,\l&\;\,\l&\;\,\l\\ x&c_{12}&.\;.\;.&c_{1m}\\ c_{21}&x&.\;.\;. &c_{2m}\\ \;\;\cdot &\;\;\cdot & &\;\;\cdot \\ \;\;\cdot &\;\;\cdot & &\;\;\cdot \\ \;\;\cdot &\;\;\cdot & &\;\;\cdot \\ c_{m1}&c_{m2}&.\;.\;. &x \end{matrix} \,\right|=0\,? \end{gathered}\tag{1} \] Zur Lösung der Aufgabe werden den \(m\) Hyperebenen die Punkte eines Graphen zugeordnet, bei dem zwei Punkte dann zu verbinden sind, wenn die entsprechenden Hyperebenen nicht aufeinander senkrecht stehen. Die Behauptung ist sicher dann erfüllt, wenn der Graph keine geschlossenen Streckenzüge enthält, insbesondere also dann wenn die Spiegelungen eine endliche Gruppe erzeugen.