Una generalizzazione dell indicatore \(\varphi (n)\) del Gauss e un problema di geometria sopra una curva ellittica. (Q2592401)

Auf einer elliptischen Kurve besitzt eine lineare Schar \(g_n^{n-1}\) \(n^2\) \(n\)-fache Punkte. Sei \(P\) einer dieser Punkte und \(g_h^{h-1}\) die lineare Schar, die \(P\) als \(h\)-fachen Punkt besitzt. Verf. stellt sich die Aufgabe, die Anzahl der \(n\)-fachen Punkte der \(g_n^{n-1}\) zu bestimmen, die nicht \(h\)-fach für die genannte \(g_h^{h-1}\) sind: Dabei bedeutet \(h\) (\(\neq n\)) irgendeinen Teiler von \(n\). Diese Zahl ist: \[ \varphi _2(n) = n^2\,\Bigl(1-\frac {1}{p_1^2}\Bigr)\, \Bigl(1-\frac {1}{p_2^2}\Bigr)\,\cdots \,\Bigl(1-\frac {1}{p_t^2}\Bigr), \] wo die \(p_i\) (\(i = 1, 2,\ldots, t\)) die Primteiler von \(n\) sind. Der Beweis stützt sich auf den Abelschen Satz und auf einfache zahlentheoretische Betrachtungen. Als Anwendung bestimmt Verf. die Anzahl der \(3n\)-fachen Punkte \textit{der Ordnung} \(n\) der \(g_{3n}^{3n-1}\), die auf einer ebenen \(C_3\) von den Kurven \(C_n\) ausgeschnitten wird: Ein \(3n\)-facher Punkt \(Q\) dieser \(g_{3n}^{3n-1}\) heißt Punkt der Ordnung \(n\), wenn keine \(C_n\) existiert, die mit \(C_3\) in \(Q\) eine Berührung der Ordnung \(3n-1\) hat und in eine \(t\)-mal gezählte \(C_h\) (mit \(n=ht\)) zerfällt. Die gesuchte Zahl ist 9 \(\varphi _2(n)\).