Ganze Cremona-Transformationen. (Q2592435)

Das Hauptergebnis ist der Satz: Sind \(f_1, \ldots \!, f_n\) Polynome in \(x_1, \ldots \!, x_n\) mit ganzzahligen Koeffizienten und der Funktionaldeterminante 1, und ist die Transformation \(y_i=f_i\) rational umkehrbar, so wird auch die Umkehrtransformation durch ganzzahlige Polynome (mit der Funktionaldeterminante 1) dargestellt. Von den fünf Eigenschaften, daß Transformation bzw. Umkehrung rational bzw. ganz algebraisch sind, und daß beide die Funktionaldeterminante 1 haben, folgt also eine aus den übrigen. Leicht sieht man, daß jede aus den übrigen folgt; ebenso, daß aus dreien die übrigen nicht folgen, mit Ausnahme eines Falles, der unerledigt bleibt. Der Beweis des Hauptsatzes benutzt die erste Homologiegruppe des Restraumes der Haupthyperflächen einer Cremonatransformation.