The proof of the formula for the vector triple product. (Q2592487)

Enthält zwei Beweise der bekannten Vektorbeziehung \(\mathfrak{a} \times (\mathfrak{b} \times \mathfrak{c})=(\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{c}) \mathfrak{b}-(\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b}) \mathfrak{c}\), die möglichst ``rein'' sind, d. h. in denen nur mit den Vektoren selbst gearbeitet wird. Sofort einzusehen ist, daß linke und rechte Seite bis auf einen Faktor \(\lambda\) einander gleich sind. Daß nun dieses \(\lambda\), das vorläufig noch als von dem geordneten Tripel \(\mathfrak{a}\), \(\mathfrak{b}\), \(\mathfrak{c}\) abhängig angesehen werden muß, in Wirklichkeit konstant und wegen \(\mathfrak{i} \times (\mathfrak{i} \times \mathfrak{j})=-\mathfrak{j}\) also \(= 1\) ist (\(\mathfrak{i}\), \(\mathfrak{j}\), \(\mathfrak{k}\) die drei Einheitsvektoren eines kartesischen Rechtssystems), wird auf zwei Arten bewiesen: (1) einmal unter Ausnützung der Tatsache, daß besagte linke und rechte Seiten jeden der vorkommenden Vektoren linear enthalten (wobei man die durch die mehrmals vorkommenden Worte ``allgemein'' bzw. ``willkürlich'' angedeuteten Ausnahmefälle gern etwas genauer erledigt sähe), (2) das andere Mal auf rein rechnerische Weise und mit Benutzung der Formel für den von drei beliebigen Vektoren aufgespannten Rauminhalt, ein Beweis, der im übrigen eine gewisse Verwandtschaft mit jenem zeigt, den \textit{Lagally} in seinem Buch über Vektorrechnung (2. Aufl. Leipzig 1934, S. 32; F.~d.~M. 54, 800 (1. Aufl.)) geführt hat.