Sopra certi inviluppi di curve piane e sulle asintotiche della superficie di Steiner. (Q2592607)

Mit den beiden folgenden interessanten projektiv-differentialgeometrischen Betrachtungen beweist Verf. auf direktem Wege die bekannten Eigenschaften der Asymptotenlinien einer Steinerschen Fläche. I) Zwei ebene Kurven \(C_\alpha\) und \(C_{\beta}\), aus den Scharen \(a_1x_2^\alpha x_3^\alpha + a_2x_3^\alpha x_1^\alpha+a_3x_1^\alpha x_2^\alpha =0\), \(b_1x_2^\beta x_3^\beta + b_2x_3^\beta x_1^\beta+b_3x_1^\beta x_2^\beta =0\) (\(\alpha, \beta\) natürliche Zahlen), die durch einen Punkt mit derselben Tangente hindurchgehen, haben die Berührungsinvariante (projektive Invariante, die dem Krümmungsquotienten gleich ist) \((\alpha +1)/(\beta + 1)\). Das \(\infty^1\)-System der \(C_{\alpha}\), die eine feste \(C_{\beta}\) berühren, besitzt also (wie Verf. sagt) eine konstante Invariante. Für \(\alpha = 1\), \(\beta = 2\) erhält man ein \(\infty^1\)-System von Kegelschnitten, die mit einer projektiven Lemniskate von Berzolari (Kurve vierter Ordnung mit drei Wendeknoten) die Berührungsinvariante 3/2 haben. Umgekehrt hat irgendein \(\infty^1\)-System von Kurven \(C_\alpha\) mit konstanter Invariante \(k\) als Hüllkurve eine \(C_{\beta}\) mit \(\beta =k(\alpha+1)-1\). II) Wenn auf einer Fläche des \(R_3\) ein \(\infty^1\)-System von Kurven \(\{C\}\) gegeben ist, das eine Hüllkurve \(\overline{C}\) besitzt, und wenn ferner die Schmiegebene in jedem Punkte von \(\overline{C}\) auch Schmiegebene derjenigen Kurve \(C\), die durch diesen Punkt geht, ist, dann sind die folgenden Fälle möglich: 1) \(\overline{C}\) und \(C\) haben in jedem Punkte die Berührungsinvariante l; 2) \(\overline{C}\) und \(C\) haben die Berührungsinvariante 3/2, und in diesem Falle ist \(\overline{C}\) eine Asymptotenlinie; 3) \(\overline{C}\) ist eine singuläre Linie der Fläche. Auf der Steinerschen Fläche \(F^4\) sei \(\overline{C}\) eine Asymptotenlinie und \(\{C\}\) das \(\infty^1\)-System der Kegelschnitte der \(F^4\), die \(\overline{C}\) berühren, das also die Invariante 3/2 hat. Projiziert man sie vom dreifachen Punkte der \(F^4\) auf eine Ebene, so erhält man ein \(\infty^2\)-System von Kegelschnitten durch drei Punkte (die Spuren der drei Doppelgeraden der \(F^4\)) mit der Invarianten 3/2. Folglich ist seine Hülle \(C_\beta\) (Projektion der \(\overline{C}\)) eine Kurve vierter Ordnung mit drei Wendeknoten. Daraus folgt unmittelbar, daß \((\overline{C})\) eine rationale Raumkurve vierter Ordnung mit drei Hauptsehnen (Schnitte zweier Schmiegebenen) ist, und daß umgekehrt eine solche Asymptotenlinie die \(F^4\) bestimmt.