Sull'approssimazione dell'intorno di secondo ordine di una superficie mediante superficie di Veronese. (Q2592609)

Verf. knüpft hier an eine frühere Untersuchung (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 28 (1939), 349-353; F. d. M. 65, 690 (JFM 65.0690.*)) an und bestimmt vielerlei Eigenschaften, welche die Veronesesche Fläche des projektiven Raumes \(S_5\) und die Mannigfaltigkeiten \(V_3^3\) gebildet von den Ebenen der Kegelschnitte auf der Veroneseschen Fläche, die durch einen Punkt gehen, und die \(V^3_4\), gebildet von den Berührungsebenen an jene Fläche, betreffen. Unter anderem zeigt Verf., daß durch drei sich in einem Punkte schneidende Kegelschnitte, deren Tangenten in einer Ebene liegen, und die einem \(S_5\) angehören, eine und nur eine Veronesesche Fläche hindurchgeht; er gibt dann die wirkliche Konstruktion dieser Fläche an. Zu diesem Zwecke bestimmt er zuerst die Gesamtheit der Geraden des \(S_4\), von welchen aus zwei Kurvenelemente 4. Ordnung des \(S_4\) mit gemeinsamem Zentrum sich aufeinander projizieren: Diese Geraden bilden eine geradlinige \(V_3\), und diejenigen unter ihnen, welche sich auf eine Gerade der Tangentenebene stützen, bilden eine Erzeugendenschar einer Quadrik (des \(S_3\)). Die Geraden, von denen aus die Kegelschnitte der Veroneseschen Fläche sich aufeinander projizieren, besitzen als Ort die oben definierte \(V_4^3\). Verf. macht schließlich eine Anwendung der Resultate der vorstehend besprochenen Arbeit von \textit{E. Bompiani} bezüglich der Bestimmung der Kalotte 2. Ordnung einer Fläche des mehrdimensionalen Raumes mit Hilfe von drei Kurvenelementen 2. Ordnung im \(S_5\) mit in einer Ebene liegenden Tangenten; es gelingt ihm zu zeigen, daß eine vorgegebene Flächenkalotte 2. Ordnung in \(\infty^9\) Veroneseschen Flächen enthalten ist, und daß ein gegebener quadratischer \(S_2\)-Kegel des \(S_5\) als der Del-Pezzo-Kegel für \(\infty^4\) Flächenkalotten 2. Ordnung (von welchen das Zentrum in der Scheitelebene des Kegels angegeben sei) und im besonderen für \(\infty^{13}\) Veronesesche Flächen, welche im genannten Punkt die Scheitelebene berühren, aufgefaßt werden kann.