Sur des familles remarquables d'hypersurfaces isoparamétriques dans les espaces sphériques. (Q2592638)

Von \textit{T. Levi-Civita} (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. fis. mat. natur. (6) 26 (1937), 355-362; JFM 63.1223.*) sind alle möglichen isoparametrigen Flächenfamilien \(F=\) const im euklidischen \(R_3\) bestimmt worden; das sind diejenigen Flächen, längs welcher der erste und zweite Differentialparameter \(\varDelta_1F\) und \(\varDelta_2F\) von \(F\) konstant sind. Im Bestreben, die Resultate von Levi-Civita auf den Raum \(R_n\) auszudehnen, hat \textit{B. Segre} (ebenda (6) 27 (1938), 203-207; JFM 64.0719.*) gefunden, daß es im euklidischen \(R_n\) bloß \(n\) Familientypen von isoparametrigen Hyperflächen gibt, und zwar nur Fälle von trivialer Einfachheit, die den von Levi-Civita für \(n = 3\) gefundenen entsprechen. In jedem dieser Fälle sind die Hauptkrümmungen für die Hyperflächen derselben Familie konstant und nicht mehr als zwei von einander verschieden. Vom Verf. ist der Fall eines sphärischen Raumes von vier Dimensionen (Hyperkugel des \(R_5\)) betrachtet worden, in welchem Falle eine Familie von isoparametrigen Hyperflächen mit drei verschiedenen Hauptkrümmungen existiert (vgl. Ann. Mat. pura appl., Bologna. (4) 17 (1938), 177-191; F. d. M. 64\(_{\text{II}}\)). In der vorliegenden Arbeit konstruiert und untersucht Verf. alle diejenigen möglichen Familientypen von isoparametrigen, innerhalb sphärischer Räume existierenden Hyperflächen, welche (nur) drei verschiedene Hauptkrümmungen besitzen. Verf. beginnt die Untersuchung mit einem analytischen Problem: Konstruktion der homogenen Polynome \(F\) des Grades 3 in \(n + 2\) Variablen (homogenen kartesischen Koordinaten in \(R_{n+2}\)), welche das Maximum 1 auf der Hyperkugel \(\varSigma\) mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt im Ursprung haben, harmonisch (\(\varDelta_2F = 0\)) sind und außerdem auf \(\varSigma\) die Bedingung \(\varDelta_1F=\) const erfüllen. Verf. findet mit Benützung einer eleganten isometrischen Überlegung (mit deren Hilfe er die Resultate einer gemeinsam mit \textit{J. A. Schouten} durchgeführten Untersuchung über die Riemannschen Geometrieen, welche einen absoluten Parallelismus zulassen, verwerten kann, vgl. Proc. Akad. Wet. Amsterdam 29 (1926), 933-946; F. d. M. 52, 744 (JFM 52.0744.*)), daß diese Polynome \(F\) notwendig die folgende Gestalt haben müssen: \[ \begin{multlined} F = u^3 - 3uv^2 + \dfrac32u (X\overline{X} + Y \overline{Y} - 2Z\overline{Z})\\ + \dfrac{3\sqrt3}2 v(X\overline{X}- Y\overline{Y}) +\dfrac{3\sqrt3}2 (XYZ + \overline{Z}\,\overline{Y}\,\overline{X}), \end{multlined} \] wo \(X\), \(Y\), \(Z\) bedeuten: 1) drei reelle Variablen und \(\overline{X} = X\), \(\overline{Y} = Y\), \(\overline{Z} = Z\); oder 2) drei komplexe Variablen und \(\overline{X}\), \(\overline{Y}\), \(\overline{Z}\) ihre Konjugierten; oder 3) drei Quaternionen und \(\overline{X}\), \(\overline{Y}\), \(\overline{Z}\) ihre Konjugierten; oder endlich drei Oktaven von Graves-Cavley (vgl. \textit{E. A. Weiss}, Math. Z. 44 (1938), 580-611; JFM 64.0658.*) und ihre Konjugierten (\(XYZ\) bedeute dann \((XY)Z\) und \(\overline{ZYX}\) bedeute \(\overline{Z}(\overline{YX}))\). Entsprechend hat das Polynom \(F\) \(3\nu + 2\) Variablen, mit \(\nu = 1, 2, 4, 8\), und man erhält so vier Familien von isoparametrigen Hyperflächen innerhalb sphärischer Räume von 4, 7, 13, 25 Dimensionen. Verf. ermittelt einige allgemeine Eigenschaften dieser so erhaltenen Hyperflächen \(\sigma\), \(F = C\), welche in jedem Fall parallele und invariante Hyperflächen in bezug auf eine transitive Gruppe \(G\) von starren Verschiebungen des Raumes sind, in welcher zwei bemerkenswerte Untergruppen \(G_1\) und \(G_2\) enthalten sind, gebildet von denjenigen Verschiebungen, welche die Hyperflächen \(\sigma\) unverändert lassen und einen auf der singulären Mannigfaltigkeit \(V\) (\(2\nu\)-dimensionale Mannigfaltigkeit, Ort der Punkte, wo \(F\) seinen maximalen Wert annimmt) gelegenen Punkt oder beziehungsweise einen nicht auf \(V\) gelegenen Punkt festhalten. Der Fall \(\nu = 1\) ist der, den Verf. in seiner früheren, bereits zitierten Arbeit untersucht hat. Für jeden der weiteren Fälle führt Verf. ein vertieftes Studium der Gruppen \(G\), \(G_1\), \(G_2\) durch, welches für \(\nu = 2, 4, 8\) sich an das Studium der Rotationen von Vektoren und Spinoren eines euklidischen Raumes von 3, 5, 9 Dimensionen anschließt. Im besonderen ist die Gruppe \(G\) für \(\nu = 8\) die Realisierung einer einfachen Gruppe des Ranges 4 mit 52 Parametern, welche in keine der großen Klassen einfacher Gruppen hineinpaßt und sich noch in keinem Problem der Geometrie und Analysis vorgefunden hat. Die Familie von isoparametrigen Hyperflächen eines sphärischen Raumes, bei welchen (nur) drei von den Hauptkrümmungen voneinander verschieden sind, wird, wie Verf. dann zeigt, von allen und nur von den von ihm soeben konstruierten gebildet. Der Beweis wird auf zwei verschiedene Weisen geführt; die eine stützt sich auf einen allgemeinen Satz, der aussagt, daß in einem sphärischen \(n\)-dimensionalen Raum eine Familie von isoparametrigen Hyperflächen mit \(p\) verschiedenen Hauptkrümmungen vom selben Multiplizitätsgrad \(\nu\) existiert; die allgemeine Gleichung dieser Hyperflächen hat die Gestalt \(P(x_1,x_2,\ldots,x_{n+1})= \cos pt\), wo \(P\) ein harmonisches Polynom des Grades \(p\) ist, das die Bedingung \(\sum_i\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial x_i}\bigg)^2 = p^2 (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n+1}^2)^{p-1}\) erfüllt. Für \(p=3\) erhält man daraus das gewünschte Resultat. Zum Schluß der Arbeit weist Verf. gelegentlich auch auf den Fall \(p = 4\) hin und gibt die analytische Darstellung der (einzigen) Familie von isoparametrigen Hyperflächen mit vier verschiedenen Hauptkrümmungen an, die innerhalb eines sphärischen 5-dimensionalen Raumes existiert.