Lie derivation in generalized metric spaces. (Q2592670)

Die Arbeit bringt zuerst den Ausdruck der Tensoren aus der Berwaldschen Begründung der Finslerschen Geometrie in Cartanscher Schreibweise (\textit{L. Berwald}, Math. Z. 25 (1926), 40-73; Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 5 (1928), 301-306; F. d. M. 54, 760 (JFM 54.0760.*)). Z. B. lauten die Komponenten des Grundtensors der Krümmung: \(LR^i_{0kh}\), wobei \(ds = L dt\). Dann lauten die Komponenten des Berwaldschen Vierindizeskrümmungstensors \[ K^i_{jkh} = \dfrac{\partial}{\partial x'^{j}} (LR_{0kh}^i). \] Auch die Formel des Ordnungswechsels der kovarianten Ableitung wird in passende Cartansche Bezeichnung übersetzt. -- Im Anschluß an Schouten überträgt Verf. die kovariante bzw. die Liesche bzw. Schouten-van Kampensche Ableitung, die alle in den einheitlichen Begriff \[ \overset{r,s}{D} = \dfrac{\overset{r}{d}-\overset{s}{d}}{dt}, \qquad r,s= 1, 2, 3,\quad r \neq s, \] zu fassen sind, auf die Finslerschen Räume (\textit{J. A. Schouten, E. R. van Kampen}, Prace mat.-fizyc. 41 (1933), 1-19; JFM 60.0638.*). -- Bei dieser Verschiebung eines Vektors erfährt das ausgezeichnete Element (\(x, x'\)) eine infinitesimale Änderung. -- Zwischen den obigen verallgemeinerten invarianten Ableitungen zeichnet sich die Liesche, d. h. \(\overset{1,3}{D}\), als die kräftigste in der Erzeugung neuer Tensoren aus. Bekanntlich ist z. B. die symmetrisierte Cartansche Konnexion \(\varGamma_{jk}^{*i}\) ein geometrisches Objekt, aber kein Tensor. Jedoch ergibt die auf \(\varGamma_{jk}^{*i}\) angewandte Liesche Ableitung einen Tensor. -- Die invarianten Derivierten \(\overset{r,s}{D}\) können auch dazu benutzt werden, um in Finslerschen Räumen die Frenetschen Formehl aufzubauen. Man gewinnt auf diese Weise die Resultate von \textit{É. Cartan} und \textit{J. H. Taylor} (Actual. sci. industr. 79 (1934) bzw. Trans. Amer. math. Soc. 27 (1925), 246-264; JFM 60.0648.*; 51, 574). -- Die Arbeit schließt mit der Einführung eines Analogons \(\overset{a}{D}\) der Lieschen Derivierten und ihrer Benutzung, die Cartansche Formel der geodätischen Abweichung und die Knebelmannschen Bedingungen für das Bestehen einer infinitesimalen projektiven Kollineation wieder aufzufinden (Amer. J. Math. 51 (1929), 527-564; JFM 55.0407.*).