Der Torsionsbegriff in metrischen Räumen. (Q2592688)

Bezeichnen \(R\) einen metrischen Raum, \(a, b\) zwei Punkte aus \(R\), \(ab\) den Abstand der Punkte \(a, b\). Es sei \(a, b, c, d\) ein beliebiges Punktquadrupel von \(R\), und es bedeute \(D(abcd)\) die Determinante \[ \begin{vmatrix} 0&1&1&1&1\\ 1&0&(ab)^2&(ac)^2&(ad)^2\\ 1&(ba)^2&0&(bc)^2&(bd)^2\\ \cdot & \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ 1&(da)^2&(db)^2&(dc)^2& 0\\ \end{vmatrix}. \] Man bilde (soweit es nur möglich ist) die Ausdrücke \[ \tau(a,d; b,c) =\dfrac{bc}{ad}\sqrt{\dfrac{18|D(abcd)|}{D(abc)\,D(bcd)}} \] (\(D (abc), D (bcd)\) sind Determinanten vierter Ordnung, ähnlich gebildet wie \(D(abcd)\)), \[ \tau_\delta(a,b,c,d)= \sqrt{ \dfrac{18|D (abcd)|}{\sqrt{D(abc)\,D (bcd)\,D(cda)\,D (dab)}} }. \] Jede der folgenden drei Zahlen \[ \tau(a) = \lim_{d\to a}(\lim_{b,c\to a} \tau (a, d; b, c)), \quad \tau_{\text{II}}(a)= \lim_{a_i\to a} \tau (a_1, a_2; a_3, a_4), \] \[ \tau_\delta (a) = \lim_{a_i\to a} \tau_\delta(a_1, a_2, a_3, a_4), \] ist zur Definition der Torsion von \(R\) geeignet. Verf. nennt \(\tau (a)\) die metrische Torsion, \(\tau_{\text{II}}(a)\) die metrische Torsion zweiter Art, \(\tau_\delta(a)\) die Darboux-Egervárysche Torsion von \(R\). 1) Wenn \(R\) eine dreimal stetig difierenzierbare Parameterkurve ist, deren Torsion im klassischen Sinn mit \(t(a)\) bezeichnet wird, so ist \[ \tau(a) = \tau_{\text{II}}(a) =\tau_\delta(a) = |t(a)|. \] 2) Besitzt \(R\) in \(a\) eine Mengersche Krümmung, so ist \(\tau_{\text{II}} (a) = \tau_\delta(a)\). 3) Ist \(R\) ein metrischer Bogen, auf welchem \(\tau(a)\) überall existiert, so ist \(\tau(a)\) auf \(R\) eine Bairesche Funktion höchstens zweiter Klasse. 4) Damit der nicht gerade euklidische Bogen \(C\) eben sei, ist notwendig und hinreichend, daß in jedem Punkte \(a\) von \(C\) die Gleichung \(\tau_{\text{II}}(a) = 0\) bestehe.