La torsion des espaces distanciés. (Q2592689)

Verf. verallgemeinert den Begriff der Torsion eines Raumbogens für den Fall eines metrischen Raumes \(\mathfrak R\) (bezüglich der Krümmung eines Bogens vgl. \textit{Menger}, Math. Ann., Berlin, 103 (1930), 466-501; JFM 56.0508.*). Diese Torsion \(\tau(P)\) ist definiert durch \(\tau (P) = \lim\limits_{Q\to P} (\lim\limits_{_{\substack{ R_1\to P\\ R_2\to P }}} \tau(P, Q; R_1, R_2))\); dabei bedeuten \(P, Q, R_1, R_2\) Punkte von \({\mathfrak R}\), ferner ist \[ \tau(P_1, P_2; P_3, P_4)=\dfrac{\|P_2,P_3\|}{\|P_1,P_4\|} \sqrt{ \dfrac{18|D(P_1,P_2,P_3,P_4)|}{D(P_1,P_2,P_3)D(P_2,P_3,P_4)}}, \] wobei \(|| P, Q ||\) den Abstand von \(P\) und \(Q\) in \(\mathfrak R\) bezeichnet und \(D (P_1,\ldots, P_n)\) die Determinante aus den Elementen \(|| P_\mu, P_\nu||^2\) \((\mu, \nu = 0, 1,\ldots, n)\) mit \(|| P_0, P_\nu || = 0\) oder 1 für \(\nu = 0\) oder \(\nu\neq0\). -- Es wird bewiesen, daß \(\tau(P)\) im euklidischen \(E_n\) eine einfache geometrische Deutung zuläßt und im \(E_3\) für dreimal differenzierbare Parameterbogen (Parameter \(=\) Bogenlänge) absolut gleich der klassischen Torsion ist. An einem Beispiel wird gezeigt, daß ein Bogen mit überall verschwindender Torsion nicht notwendig isometrisch ist mit einem euklidisch-ebenen Bogen. Bezeichnet man als scharfe Torsion \(T(P)\) den Limes (falls vorhanden) \(\lim\limits_{_{\substack{ P_\nu\to P\\ \nu=1, \ldots,4 }}} \tau(P_1, P_4; P_2, P_3)\), so erweisen sich im euklidischen Raum die ebenen, rektifizierbaren Bogen als gekennzeichnet durch das Verschwinden der scharfen Torsion in jedem Punkte. Am Schlusse werden Hinweise auf \textit{Darboux}, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Band 4 (1896; F. d. M. 27, 497), S. 426 und \textit{R. Sauer}, Mh. Math. Physik. 45 (1937), 358-365 (JFM 63.0654.*) gegeben.