Nets and groups. (Q2592698)

Der von \textit{Thomsen} (Abh. math. Sem. Hamburg. Univ. 7 (1929), 99-106; JFM 55.1014.*), \textit{Reidemeister} (Vorlesungen über Grundlagen der Geometrie (1930); JFM 56.0483.*) und \textit{Kneser} (Abh. math. Sem. Hamburg. Univ. 9 (1932), 147-151; JFM 58.0737.*) aufgedeckte Zusammenhang zwischen Gruppen und 3-Geweben mit bestimmten Konfigurationen ist ausführlich untersucht worden (vgl. \textit{Blaschke, Bol}, Geometrie der Gewebe (1938); \textit{Bol}, Math. Ann., Berlin, 114 (1937), 414-431; JFM 64.0727.*; 63\(_{\text{II}}\), 1157). Die 3-Gewebe (Netze) lassen sich bekanntlich als geometrische Realisierung von Systemen \(M\) mit eindeutiger, beiderseits eindeutig umkehrbarer Multiplikation (Divisionssystemen), die ein Einheitselement enthalten, auffassen. Verf. bildet die Permutationen \(\overline{a}=\;\displaystyle {x\choose ax}\) \((a\in M)\), erzeugt aus ihnen eine Gruppe \(\mathfrak G\), nimmt die \(\overline{a}\) als Vertreter der Rechtsrestklassen von \(\mathfrak G\) nach der Untergruppe \(\mathfrak S\) aller Permutationen, die \(e\) festlassen, und führt die Restklassenmultiplikation durch Vertreter: \[ \overline{a}\mathfrak S\boldsymbol\odot \overline{b}\mathfrak S= \overline{ab}\mathfrak S \] ein. Im Sinne dieser Multiplikation bilden die Rechtsrestklassen von \(\mathfrak G\) nach \(\mathfrak S\) ein zu \(M\) isomorphes System. So wird die Untersuchung beliebiger 3-Gewebe auf die Untersuchung von Gruppen zurückgeführt.