Über die Approximation konvexer Kurven durch Polygonfolgen. (Q2592707)

\(L\) seien der Umfang, \(T\) der Flächeninhalt einer ebenen konvexen Kurve, \(L_{n}\), \(T_{n}\) die entsprechenden Größen für ein umbeschriebenes, \(l_{n}\), \(t_n\) für ein einbeschriebenes \(n\)-Eck. Dann gibt es bei gegebener Kurve zu jeder der folgenden Ungleichungen und jedem \(n\) mindestens einen \(n\)-Eck-Ring, für den sie erfüllt ist: \[ T_n-t_n<A\cdot \frac{T}{n^2}\leqq A\cdot \frac{L^2}{4\pi n^2},\quad L_n-l_n<B\cdot \frac{\sqrt{T}}{n^2}\leqq B\cdot \frac{L}{\sqrt{4\pi }\cdot n^2} \] (\(A\), \(B\) sind ``universelle'' Konstanten), \[ \begin{aligned} \frac{T_n-t_n}{T_n}<\frac{6\pi }{n^2},\quad \frac{T_n-t_n}{L_n^2}\leqq \frac{\sin\, \dfrac{2\pi }{n}}{8n},&\;\\ \frac{L_n-l_n}{L_n}\leqq 2\,\sin^2\, \frac{\pi }{2n},\quad \frac{L_n-l_n}{\sqrt{T_n}}<\frac{500}{n^2}&.\end{aligned} \]