Über das isoperimetrische Problem im Raum von \(n\) Dimensionen. (Q2592746)

Verf. baut das klassische Beweisverfahren von H. A. Schwarz soweit aus, daß ein in allen Einzelheiten lückenlos streng durchgeführter Beweis für die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel im \(n\)-dimensionalen Raum unter der Voraussetzung erbracht wird, daß die Berandung der Vergleichskörper aus endlich vielen zweimal stetig differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besteht. Er erhält ferner einfach gebaute Verschärfungen der isoperimetrischen Ungleichung. Zuerst erbringt Verf. einen neuen sehr einfachen Beweis für die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises einschließlich der bekannten Ungleichung von T. Bonnesen. Hierauf gibt er die folgende interessante Verschärfung: \[ I^2\leqq \biggl(\frac{l^2}{4\pi }\biggr)^2-\frac{\pi ^2}{4}\biggl(\frac{1}{2}\frac{l^2}{\pi ^2}-\vartheta ^2\biggr)^2-\frac{l^2}{4}\overline{MS}^2-\frac{1}{4}(r_2^2-r_1^2)^2 \] (\(I\) Inhalt, \(l\) Länge einer geschlossenen Kurve, \(S\) Schwerpunkt, \(r_1\), \(r_{2}\) kleinste, bzw. größte Entfernung vom Schwerpunkt, \(M\) Mittelpunkt eines beliebigen umbeschriebenen Rechtecks, \(\vartheta \) dessen halbe Diagonale). Dann wird die isoperimetrische Aufgabe zunächst für Drehkörper des \(R_{n}\) gelöst. Entscheidend ist hier die Ungleichung: \[ V\leqq \frac{1}{n-1}(O\varrho -E_n\varrho ^n) \] (\(V\) Volumen, \(O\) Oberfläche des Drehkörpers, \(\varrho \) maximaler Radius der Breitenkugeln, \(E_{n}\) Volumen der Einheitskugel des \(R_n\)). Diese Ungleichung ist scharf, wenn \(\varrho \leqq P\), wo \(P\) der Radius der Kugel mit der Oberfläche \(O\) ist, im entgegengesetzten Fall dagegen noch verbesserungsfähig. Die beste Abschätzung wird auch für diesen Fall gewonnen und genau festgestellt, für welche Körper das Gleichheitszeichen gilt. Es folgt eine Reihe von Hilfssätzen, deren Zweck vor allem darin besteht, das Operieren mit Riemannschen Integralen über Mannigfaltigkeiten des \(R_{n}\) einwandfrei zu begründen. Es werden dann die Klasse der ``regulären'' Mannigfaltigkeiten des \(R_{n}\), aus denen sich die Berandung der zugelassenen``regulären'' Körper aufbaut (siehe oben), scharf definiert und alle zum Beweis nötigen Eigenschaften hergeleitet. Nachdem noch Riemannsche Integrale über regulären Mannigfaltigkeiten eingehend behandelt werden, wobei unter anderem die Greensche Formel eine saubere Begründung erfährt, ist der Beweis der isoperimetrischen Ungleichung verhältnismäßig rasch erledigt. Folgende Verschärfung ist von besonderem Interesse: \[ V\leqq \frac{1}{n-1}(OP'-E_nP^{\prime n}). \] \(V\), \(O\), \(E_{n}\) sind schon oben erklärt, nur liegt jetzt kein Drehkörper, sondern ein ``regulärer'' Körper des \(R_{n}\) vor. \(P'\) hat folgende Bedeutung: Es sei \(P\) der Radius der \(n\)-dimensionalen Kugel mit der Oberfläche \(O\). Ihr maximaler Querschnitt hat dann den \(n - 1\)-dimensionalen Inhalt \(E_{n-1}P^{n-1}=Q_0\). \(Q'\) sei ein beliebiger Querschnitt des regulären Körpers, d. h. sein Schnitt mit einer linearen \(M_{n-1}\), \(\tilde Q'\) die Teilmenge von \(Q'\), die aus inneren Punkten des Körpers besteht. \(Q'\) heißt exzessiv, wenn der untere Jordan-Inhalt von \(Q^{\prime\sptilde}\kern-5pt>Q_0\) ist, hingegen heiße ein Maximalquerschnitt (d. h. ein solcher, der unter allen Querschnitten einer Parallelschar den Höchstwert des äußeren Jordan-Inhalts liefert) defekt, wenn sein äußerer Inhalt \(<Q_{0}\) ist. Es sei nun \(Q'\) entweder ein (beliebig gewählter) exzessiver Querschnitt oder ein defekter Maximalquerschnitt. Im ersten Fall wird \(P'\) durch \[ E_{n-1}P^{\prime n-1}=\underline J(\tilde Q'), \] im zweiten durch \[ E_{n-1}P^{\prime n-1}=\overline{J}(Q') \] definiert. In beiden Fällen gilt die angegebene Ungleichung. Sie ist im zweiten Fall scharf, dagegen im ersten Fall einer Verbesserung fähig, die auch angegeben wird.