Cohomologies et transformations continues. (Q2592882)

\(Y\) sei ein zusammenhängender, im kleinen zusammenhängender, separabler metrischer Raum. \(Y\) heißt \textit{einfach in der \(n\)-ten Dimension}, wenn jede Komponente des Raumes der stetigen Abbildungen \(g(S^n)\) der \(n\)-dimensionalen Sphäre \(S^n\) in \(Y\) genau eine Komponente des Raumes der Abbildungen \(g(S^n)\) mit der Nebenbedingung \(g(x_0)=y_0\) enthält \((x_0\in S^n, y_0\in Y)\). \(K\) sei ein aus orientierten, konvexen Zellen aufgebauter Komplex, \(K'\) ein Teilkomplex von \(K\), und \(K^i\) bezeichne den aus den höchstens \(i\)-dimensionalen Zellen von \(K\) bestehenden Teilkomplex von \(K\). \(f\) sei eine stetige Abbildung von \(K' +K^n\) in \(Y\). Bezeichnet \(c(f, \sigma _i^{n+1})\) dasjenige Element der \(n\)-ten Homotopiegruppe \(\pi _n(Y)\), das der durch \(f\) definierten Abbildung des Randes der Zelle \(\sigma _i^{n+1}\) von \(K^{n+1}\) entspricht, so wird jeder Abbildung \(f\) ein algebraischer Teilkomplex \[ c^{n+1}(f)=\textstyle \sum\limits_{i} c(f,\sigma _i^{n+1})\sigma _i^{n+1} \] mit dem Koeffizientenbereich \(\pi _n(Y)\) zugeordnet. Verf. behauptet: \(c^{n+1}(f)\) ist ein Cozyklus; er ist dann und nur dann cohomolog null in \(K\)-\(K'\), wenn \(f\) eine stetige Erweiterung auf \(K'+K^{n+1}\) zuläßt. Ferner wird eine entsprechende notwendige und hinreichende Bedingung dafür angegeben, daß zwei Abbildungen von \(K'+K^n\), die auf \(K' + K^{n-1}\) übereinstimmen, in \(K' + K^n\) stetig ineinander übergeführt werden können. Hierin sind frühere Ergebnisse von Hurewicz, Whitney und Verf. als Sonderfälle enthalten.