On contiguous point spaces. (Q2592924)

Verf. geht aus von den drei ersten Hausdorffschen Umgebungsaxiomen und ersetzt das Trennungsaxiom durch die Forderung: Es gibt Punkte \(p\), \(q\), \(p \neq q\), von der Eigenschaft, daß der Durchschnitt je zweier Umgebungen \(U_p\), \(U_q\) sowohl \(p\) als auch \(q\) enthält. Punkte \(p\), \(q\), die dieser Forderung genügen, nennt Verf. zueinander ``benachbart'' (contiguous). Er zeigt, daß bei dieser Definition benachbarter Punkte die Axiome \(A\), \(B\), \(C\), die \textit{R. L. Moore} (Rice Inst. Pamphlet 23 (1936), 1-74 (F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1412), S. 3) bei der axiomatischen Untersuchung eines Raumes mit \textit{drei} Grundbegriffen (Punkt, Umgebung, Nachbarschaft von Punkten) eingeführt hat, beweisbare Sätze sind. Bei dieser Art der Einführung benachbarter Punkte lautet die Definition von zwei getrennten Mengen genau wie üblich. Moore muß freilich anders vorgehen, weil er die Axiome \(A\), \(B\), \(C\) in Verbindung mit den Axiomen 0, 1, 2 seiner Foundations of point set theory (New York, 1932; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 637) betrachtet, von denen 2 eine Trennungsbedingung enthält; deshalb sind auch die Räume, die Verf. erhält, nicht genau die von Moore.