Sur les espaces à connexité \(n\)-dimensionelle. (Q2592937)

\(X\) sei ein metrischer, separierbarer Raum, der mehr als einen Punkt enthält. \(X\) heißt von einem Zusammenhang höchstens \(n\)-ter Dimension, wenn es zwei geschlossene Mengen \(M\) und \(N\) gibt, so daß \(X = M + N\), \(M \neq X \neq N\) und dim \(MN \leqq n - 1\). Die kleinste Zahl \(n\) (endlich oder unendlich) dieser Eigenschaft ist die Dimension des Zusammenhanges von \(X\) und werde mit dc \(X\) bezeichnet. Für einen einzigen Punkt \(p\) bzw. für die leere Menge gilt dc \(p = 0\), dc \(0 = - 1\). Ist nun \(n\) die kleinste ganze Zahl derart, daß für feste Teilmengen \(A\) und \(B\) von \(X\) gilt \(X = M + N\), \(AN = BM = 0\), dim \(MN \leqq n - 1\), so heißt \(n\) die Dimension des Zusammenhanges von \(X\) bezüglich \(A\) und \(B\) und werde mit dc\(_{A, B} X\) bezeichnet. Diese Begriffe lassen sich ohne weiteres auf eine Teilmenge \(C\) von \(X\) übertragen, aufgefaßt als Teilraum von \(X\). Zahlreiche Sätze über die zusammenhängenden Mengen lassen sich verallgemeinern, indem man in ihren Ergebnissen die Dimension des Zusammenhanges einsetzt. Hier seien nur die folgenden Sätze angegeben: 1) Aus dc \(C \geqq n\), \(C \subset M + N\), dim \((\overline MN + \overline NM) \leqq n - 2\) folgt \(C \subset \overline M\) oder \(C \subset \overline N\). \ 2) Wenn für die Mengenfamilie \(\{C_i\}\) gilt dc \(C_i \geqq n\), und wenn sie eine Menge \(C_0\) enthält, so daß stets dim \(C_i C_0 \geqq n - 1\) ist, so gilt dc \((\sum\limits_i C_i) \geqq n\). \ 3) dc \((X - C) = \text{ dc } X - \text{ dim } C\). \ 4) Wenn \(X - C = M + N\), \(\overline MN + \overline NM = 0\) und dc \(C \leqq \text{ dc } X\) gelten, so ist dc \(C \leqq \text{ dc } (C + M)\) und dc \(C \leqq \text{ dc } (C + N)\). \ 5) Sind \(A\) und \(B\) zwei geschlossene Mengen, so daß dc \(AB \leqq \text{ dc } (A + B)\), so gilt dc \((AB) \leqq \text{ dc } A\), dc \((AB) \leqq \text{ dc } B\). \ 6) Sei \(X\) ein Kontinuum und \(f\) eine stetige Transformation, so daß für jedes \(y\), das in \(f(X)\) enthalten ist, gilt dim \(f^{-1}(y) \leqq k\), so folgt dc \(f(X) \geqq \text{ dc } X - k\). \ 7) Aus dc\(_{F, H} X \leqq n\) und dc\(_{G, H} X \leqq n\) folgt dc\(_{F+G, H} X \leqq n\). \ 8) In einem kompakten Raum seien eine Menge \(C\) und zwei Teilmengen \(A\) und \(B\) von \(C\) gegeben. Dann gibt es zwei Punkte \(a\) und \(b\) aus \(A\) bzw. \(B\), daß dc\(_{A, B} C \leqq \text{ dc}_{a, b} (C + a + b)\).