Euler's problem of two fixed centres of gravitation. (Q2593070)

Die Arbeit bringt eine vollständige Klassifizierung der möglichen Bahnen eines Massenpunktes in der \((x, y)\)-Ebene, der von zwei festen, auf der \(x\)-Achse angenommenen Massen \(K\) und \(K'\) (\(\leqq K\)) nach dem Newtonschen Gesetz angezogen wird. Im ersten Teil werden die Differentialgleichungen des Problems in bekannter Weise mit Einführung elliptischer Koordinaten \(u\), \(v\) integriert in der Form \[ \dot u=\frac{\sqrt{R(u)}}{u^2-v^2},\qquad \dot v=\frac{\sqrt{S(v)}}{u^2-v^2} \tag{A} \] und daher \[ 0=\int\limits_{u_0}^u \frac{du}{\sqrt{R(u)}} \int\limits_{v_0}^v \frac{dv}{\sqrt{S(v)}},\qquad t-t_0=\int\limits_{u_0}^u \frac{u^2du}{\sqrt{R(u)}} \int\limits_{v_0}^v \frac{v^2dv}{\sqrt{S(v)}}. \] Hier sind \(R(u)\), \(S(v)\) Polynome höchstens vierten Grades in \(u\) bzw. \(v\) mit konstanten Koeffizienten, unter denen auch die Energiekonstante \(h\) auftritt. Vier Hilfssätze über die Integration von Differentialgleichungen des Typus (A) durch Entwicklung nach Potenzen bzw. nach gebrochenen Potenzen von \(t\) ermöglichen die Untersuchung der Bewegungen in der \((u,v)\)-Ebene, die nach der Beschaffenheit der Wurzeln der Polynome \(R(u)\), \(S(v)\) eingeteilt werden. Im zweiten Teil wird \(K>K'\) vorausgesetzt und zunächst der Zusammenhang zwischen den Wurzeln von \(R(u)\) und \(S(v)\) untersucht. Die Bahnen in der \((x,y)\)-Ebene werden in drei Klassen eingeordnet, je nachdem \(h<0\), \(h>0\), \(h=0\); jede Klasse zerfällt wieder in mehrere ``Typen''. Die Bewegung des Massenpunktes auf der \(x\)-Achse erfordert eine besondere Behandlung, führt aber auf eine entsprechende Einteilung. Am Schluß des zweiten Teiles unterzieht der Verf. an Hand seiner Klassifikation diejenige Charliers über denselben Gegenstand (Mechanik des Himmels (2. Aufl., 1927; F. d. M. 53, 892 (JFM 53.0892.*)), Band 1) einer Kritik. Im dritten Teil wird der Spezialfall \(K=K'\) untersucht; dabei zeigt es sich, daß verschiedene Typen des Falles \(K>K'\) fortfallen, wogegen für \(h=0\) eine vorher nicht auftretende Form hyperbolischer Bewegung möglich ist. Die Bewegung auf der \(x\)-Achse bleibt im Prinzip dieselbe wie im allgemeinen Fall. Auf Grund dieser Tatsachen spricht der Verf. in der Einleitung die Vermutung aus, daß auch die numerischen Integrationen des ``Kopenhagener Problems'', des speziellen Falles des eingeschränkten Dreikörperproblems, wo die in konzentrischen Kreisen umlaufenden Massen gleich sind, nicht zu allen möglichen Arten der Bewegung im Falle ungleicher Massen führen könnten.