On transverse vibrations of curved membranes. (Q2593224)

Eine Normalverschiebung \(\xi\) verursacht in einer Membran mit der mittleren Krümmung \(J\) und der Gaußschen Krümmung \(K\) die Dehnung \(\theta=-J\xi\) und die mittlere Krümmung \(J'=J+\varDelta\xi-(2K-J^2)\xi\). Am Rande eines Stückes der verformten Membran greift infolge der Normalresultanten \(T' = T + \lambda \theta\) die Kraft \(\int \hskip -0.8em {\circlearrowleft} T'\mathfrak m' ds'=\iint T'J'\mathfrak n'dS'\) an, worin \(\mathfrak m'\) der senkrecht zum Rande, tangential zur Membran, nach außen gerichtete Einheitsvektor und \(\mathfrak n'\) der normal zur Membran gerichtete Einheitsvektor ist. Greift an der Membran eine Normalspannung \(R\) an, so ist die ganze am Membranstück angreifende Kraft \((T'J' + R)\mathfrak n'dS'\). Hierin werden bei Linearisierung \(\mathfrak n'\) und \(dS'\) durch \(\mathfrak n\) und \(dS\) der unverformten Membran ersetzt. Wird die Flächendichte mit \(\varrho\) bezeichnet, so ist die Bewegungsgleichung der kleinen Normalschwingungen \(T[\varDelta\xi-(2K-J^2)\xi]-\lambda J^2\xi = \varrho\dfrac{\partial^2\xi}{\partial t^2}\). Bleibt die Größe der Normalspannung während der Schwingung nicht konstant, so muß ihr Zuwachs auf der linken Seite der Bewegungsgleichung addiert werden.