Zur Theorie der gekrümmten Platte großer Formänderung. (Q2593230)

Es wird eine Theorie gekrümmter Platten unter Benutzung kartesischer Koordinaten entwickelt. Dabei wird bei der Ableitung der allgemeinen Gleichungen in der Haupt ache nur die Annahme gemacht, daß die über der \(x\), \(y\)-Ebene liegende Platte eine schwache Verkrümmung habe, ferner sollen die Schnitte \(x\) und \(y=\) const eben bleiben und ihren ursprünglichen Winkel gegen die Schalenmittelebene behalten. Die schiefwinkligen, durch diese Ebenen herausgeschnittenen Parallelogramme sollen keine andere Verformung erfahren als die, welche durch die Krümmungsänderung der Mittellinie bewirkt wird. Die die quadratischen Terme enthaltenden Verzerrungsgrößen bilden dann einen Tensor, mit dessen Komponenten, in Anlehnung an den für die ebene Platte geltenden, der Ausdruck für die Formänderungsarbeit gebildet wird. Er besteht aus zwei Summanden. Den zweiten erkennt man sofort als die Biegungsenergie; er ist genau so gebaut wie der entsprechende für die ebene Platte. Der erste wird als Dehnungsarbeit gedeutet, wobei statt der sonst üblichen Normalspannungen Spannungen parallel zu den Kanten des deformierten Flächenelementes benutzt werden. Mittels des Prinzipes der virtuellen Verrückungen werden dann die Gleichungen für das elastische Verhalten der schwach gekrümmten Platte bei großer Durchbiegung gewonnen; dabei werden alle in den Verschiebungen parallel zur \(x\), \(y\)-Ebene quadratischen Glieder als klein vernachlässigt. Unter Einführung einer Spannungsfunktion für die zur \(x\), \(y\)-Ebene parallelen Spannungen ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte in der \(z\)-Richtung und aus den Verträglichkeitsbedingungen zwei übersichtlich gebaute Gleichungen für die Spannungsfunktion und für die Verschiebung in der \(z\)-Richtung, aus denen sich durch Spezialisierung auch sonst gebrauchte Gleichungen ergeben, z. B. durch Übergang zur Membrantheorie, die von \textit{Pucher} abgeleiteten (Beton und Eisen 33 (1934), 298-304; insbesondere S. 300). Die Gleichungen lassen sich nach dem Verfahren von Ritz genähert lösen. Eine Erweiterung der Theorie auf große Krümmungen führt zu recht komplizierten Gleichungen.