Nouvelles recherches sur la structure dialectique des mathématiques. (Introduction de J. Cavaillès et R. Aron.) (Q2593880)

Diese kleine Schrift gehört einer Sammlung von Essais an, in der Fragen der Philosophie im weitesten Sinne des Wortes behandelt werden, einer philosophia perennis sed in actione hominis manifesta, wie die Herausgeber in der Einleitung sagen. Sie besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil entwickelt Verf., ausgehend von einem früheren Werk über die Begriffe der Struktur und der Existenz in der Mathe\-matik, die These, daß die Mathematik an einer sie beherrschenden Dialektik teilhat. Er sucht zu zeigen, daß das Eindringen in die Ideen dieser Dialektik notwendig zur Entwicklung mathematischer Theorien führt. Er stützt sich bei seiner Beweis\-führung auf gewisse Anschauungen \textit{M. Heidegger}s, der in seinem Werk vom ``Wesen des Grundes'' (1929) ohne Beziehung auf die Mathematik auseinandergesetzt hat, wie die Erzeugung von Begriffen, die sich auf die konkrete Existenz beziehen, aus dem Streben entspringt, abstrakte Begriffe zu verstehen. In diesem rein philo\-sophischen Teil beschreibt Verf. die Entstehung des Daseins (im Heideggerschen Sinne) ausgehend von der Idee (im platonischen Sinne) und die Erzeugung der Mathematik aus der Dialektik, indem er die enge Verbindung aufzeigt, die zwischen der Transzendenz der Ideen und der Immanenz der logischen Struktur der Lösung eines dialektischen Problems im Bereich der Mathematik besteht. Im zweiten, mathematischen Teil wendet Verf. diese abstrakten Erkenntnisse an auf die analytische Zahlentheorie. Er stellt die Frage, woher es kommt, daß gewisse Ergebnisse der Zahlentheorie, also einer Lehre, die sich mit einer unstetigen Menge beschäftigt, mit Hilfe stetiger Funktionen der Analysis bewiesen werden können oder gar \textit{nur} mit Hilfe solcher Funktionen zu beweisen sind. Er findet die Erklärung dieser Tatsache darin, daß die Struktur der angewandten analytischen Hilfsmittel verwandt ist mit der Struktur der gesuchten arithmetischen Ergebnisse und legt dies näher dar an dem Gesetz der quadratischen Reziprozität und an den Gesetzen über die Verteilung der Primzahlen. Arithmetik und Analysis erscheinen so vermöge der Verwandtschaft ihrer Strukturen als Verwirklichungen einer Dialek\-tik, die sie überwölbt. Zwischen der Erzeugung der mathematischen Theorie, aus\-gehend von der Dialektik, und dem genetischen Prozeß, der im Bereich der Mathe\-matik von der Struktur zur Existenz führt, besteht kein wesentlicher Unterschied. So erscheint die eigenartige Verknüpfung von Metaphysik und Mathematik, die Verf. aufdeckt, nicht zufällig, sondern notwendig. Die äußerst knapp gefaßte und nicht leicht zu lesende Abhandlung setzt die Kenntnis der Heideggerschen Philosophie und Terminologie voraus.