Philosophie mathématique. Avec cinq déclarations de MM. A. Church, W. Ackermann, A. Heyting, P. Bernays et L. Chwi\-stek. (Q2593881)

Ein Bericht, dessen Keimzelle die Frage ist, was in den Jahren 1937 und 1938 für die Philosophie der Mathematik geleistet worden ist. Drei Teile. Der dritte ist von dem ersten und zweiten so unabhängig, daß er auch für sich hätte publiziert werden können. Die beiden ersten Teile sind von \textit{F. Gonseth} verfaßt, in einer Sprache, die abgestimmt ist auf ein nicht an mathematisches Denken gewöhntes philoso\-phisches Publikum. Weitgehende Konzessionen an nicht mathematisch präzisierte philosophische Fragen. -- Überblick über Teil I und II: I. Les grands thèmes de la philosophie mathématique. c. 1: La dialectique de la connaissance. c. 2: La méthode de la pensée mathématique: (1) Le problème de l'évidence, (2) Le problème du fondement, (3) Le problème de la méthode. II. Les courants actuels: (1) Le formalisme hilbertien, (2) La pensée exacte en Allemagne, (3) Le logicisme polonais, (4) Le logicisme américain, (5) Le mouvement de l'Unité de la Science, (6) L'in\-tuitionisme hollandais et Mannoury, (7) L'idonéisme (der durch gewisse Postulate von F.Enriques bestimmte Standort des Verf.), (8) La philosophie scientifique en France. Alles sehr kurz und in den durch die Rücksicht auf das philosophische Publikum bestimmten, also beschränkten Genauigkeitsgrenzen. Von einer ganz anderen Art ist der dritte Teil: Quelques déclarations authenti\-ques: (1) \textit{A. Church}, The present situation in the foundation of mathematics, (2) \textit{A. Heyting}, Les fondements des mathématiques du point de vue intuitioniste, (3) \textit{W. Ackermann}, Bemerkungen zu den logisch-mathematischen Grundlagen\-problemen, (4) \textit{P. Bernays}, Bemerkungen zur Grundlagenfrage, (5) \textit{L. Chwistek}, Sur les fondements des sciences exactes. Hier wird in der Sprache der Mathematik zu Mathematikern gesprochen. -- Als besonders erleuchtend erscheinen dem Ref. die Beiträge von Church, Ackermann, Bernays. \textit{Church} hebt hervor a) die Abhängig\-keit aller ernst zu nehmenden metamathematischen oder philosophischen Diskus\-sionen von hinreichend umfassenden, pünktlich formalisierten Systemen der Logik und Mathematik, b) die abseits vom Hauptwege der metamathematischen Forschungen erzielte Umformung der Zermelo-Basis in einen Formalismus, der mit dem Formalis\-mus der auf die vereinfachte Typentheorie beschränkten und durch die gleichzeitige Eliminierung des Reduzibilitätsaxioms entlasteten \textit{Principia Mathematica} effektiv verglichen werden kann und diesen an Tragweite sogar zu übertreffen scheint, c) die Bemühungen um einen nicht typentheoretisch, sondern auf eine wesentlich befriedigendere Art revidierten Frege-Kalkül von einer ausreichenden Leistungs\-fähigkeit. Dieser Kalkül müßte fußen auf Intuitionen, durch die zugleich die Ein\-wendungen zum Verschwinden gebracht werden, die auch gegen die rein zweckhaft bestimmte Zermelo-Basis mit Recht erhoben werden können. Ref. fügt hinzu, daß \textit{W. Ackermann} soeben die Fundamente eines solchen Kalküls vorgelegt hat (Ein System der typenfreien Logik I, Forsch. Logik Grundl. exakt. Wiss., Nr. 7, 1941; F. d. M. 67). -- Der Beitrag von \textit{Ackermann} berührt sich in bezug auf diese drei Hauptpunkte überraschend mit dem von Church. Als vierter Hauptpunkt kommt für ihn hinzu die Betonung der höchst erfreulichen Abklärung der in den Anfängen außerordentlich gespannten Beziehungen zwischen Formalismus und Intuitionismus und ihrer wechselseitigen Durchdringung zu produktiver Zusammenarbeit. -Hier\-durch rückt dieser Beitrag an den von \textit{Bernay}s heran. B. hebt diesen wichtigen Punkt in seiner Art mit derselben Eindringlichkeit hervor. Das Hauptstück des B.-schen Beitrages ist eine erleuchtende Konfrontierung der semantischen (B.: der arithmetisierten oder mengentheoretischen) und der im Hilbertschen Sinne beweis\-theoretischen Interpretation der Logik und Mathematik. Man könnte nachträglich wünschen, daß diese Konfrontierung als eine Art von programmatischer Vorrede den ``Grundlagen der Mathematik'' hätte vorangestellt werden sollen. -- Daß die Warschauer Schule mit ihrer scharfen Profilierung nicht zum Wort gekommen ist, ist zu bedauern. Die vorliegende Veröffentlichung wird abgeschlossen durch eine Bibliographie, die rund 130 Nummern umfaßt.