Les méthodes axiomatiques modernes et les fondements des mathématiques. (Q2593882)

Das ``griechische Wunder'', d. h. die deduktive Begründung, gab der Mathe\-matik und allen reinen Wissenschaften für 20 Jahrhunderte den Auftrieb. Doch blieben hierbei die Grundbegriffe eine Art von idealisierten Erfahrungsbegriffen, über die man Axiome aufstellt, die selbst als Extrapolationen der Erfahrung erscheinen. Anstoß zu der Axiomatik gaben die Anomalien der Analysis. Ihre Fruchtbarkeit beweist sie vor allem in der modernen Algebra und in der Topologie. In Hilberts Grundlagen zeigt sich die Irrelevanz der Natur der Grundbegriffe ; die mathematische Wahrheit hat hypothetischen Charakter, das einzige Substrat bilden Elemente und Mengen. Die aus den bekannten Paradoxien sich ergebenden Differenzen in den Lö\-sungs- und Fundamentierungsversuchen führen im wesentlichen zu einer Einigung im Sinne der von Hilbert angebahnten formalistischen Auffassung. Hilbert entgeht dem Dilemma des Unendlichen -- jede Formel ist eine Aussage über unendlich viele Elemente --, indem er bei den mathematischen Aussagen von ihrem Sinn ab\-strahiert und rein die Verbindungen der Zeichen betrachtet. Neben den Argumenten gibt es 14 Zeichen der Verbindung (8 für elementare, die 6 übrigen für komplexe Verbindungen). Etwa 50 Bildungsregeln sind die Schemata wahrer Propositionen, sie sind meist formale Transpositionen der Regeln der Logik. Dazu kommen 5 als ``wahr'' vorausgesetzte Propositionen und zwei Regeln der Deduktion. Wenn auch eine Demonstration in der Kombination der zur Verfügung stehenden wahren Pro\-positionen besteht, so hat doch die Initiative des Mathematikers noch freies Spiel. Neben diesen zur Formaliserung der existierenden Mathematik geeigneten Regeln lassen sich auch andere formale Systeme aufstellen. Die hier kurz skizzierte Methode soll in einer demnächst erscheinenden Arbeit des Verf. ``Esquisse d'un développement formel de la science mathématique'' ausführlicher dargestellt werden. Entgegen der empiristischen Stellungnahme zu dem Problem der Widerspruchsfreiheit, die sich bei auftauchenden Unstimmigkeiten mit Modifikationen der Grundlagen ad hoc begnügt, ist Hilberts Zielsetzung viel weiter reichend: er will in einer anderen de\-duktiven Wissenschaft, der Metamathematik, die Widerspruchsfreiheit beweisen. Für diese könnte übrigens von neuem die Forderung der Formalisierung erhoben wer\-den und so fort in infinitum, zur Metamathematik käme eine Metametamathematik usw. Die Verbindung von Formalisierung und Metamathematik sieht Verf. nicht als wesensnotwendig an, die Verdienste jener erkennt er voll an, dieser, insbesondere ihrem philosophischen Wert, steht er etwas skeptischer gegenüber.