The hypothesis that infinite classes are similar. (Q2593896)

Es sei die verzweigte Typentheorie vorausgesetzt. \(Fl (M)\) sei die auf den (nicht\-formalisierten) Folgerungsbegriff der ``Principia Mathematica'' (\(PM\)) bezogene Folgerungsmenge von \(M\). \(M_0\) sei die \(PM\)-Axiomenmenge des Prädikatenkalküls, \(UA\) das \(PM\)-Unendlichkeits-, \(AA\) das \(PM\)-Auswahl-, \(RA\) das \(PM\)-Reduzierbar\-keitsaxiom, \(RA'\) dessen kontradiktorische Verneinung, \(GA\) das Gleichzahligkeits\-axiom, das besagt, daß alle unendlichen Klassen gleichzahlig sind. Es sei endlich \[ \begin{gathered} PM_1 = Fl(M_0 + \{UA\} + \{AA\} + \{RA\}),\quad PM_2 = Fl(M_0 + \{UA\} + \{AA\}),\\ PM_3 = Fl(M_0 + \{UA\} + \{AA\} + \{RA'\} + \{GA\}). \end{gathered} \] \(PM_1\) ist das \(PM\)-System der ersten, \(PM_2\) das der zweiten Ausgabe, \(PM_3\) ist ein neues System. In einer Untersuchung unter dem Titel ``The consistency of the ramified prin\-cipia'' (J. symbolic Logic 3 (1938), 140-149; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 925) hat Verf. (mit nicht\-finitistischen Mitteln) die Widerspruchsfreiheit (WF) von PM2 bewiesen. Der Be\-weis fußt auf der Konstruktion zweier streng und originell formalisierter Hilfs\-systeme \(S\), \(S'\). Er macht von der semantischen Methode Gebrauch. Durch eine sinnvolle Erweiterung dieser beiden Systeme hat Verf. in der vorliegenden Arbeit die \(WF\) von \(PM_3\) zu zeigen vermocht. Hieraus ergeben sich zwei wichtige Folgerungen: (1) Ist \(PM_4 = Fl(M_0 + \{UA\} + \{AA\} + \{RA'\})\), so kann das Cantorsche Potenz\-mengen-Theorem in \(PM_4\) nicht vorkommen; denn es ist unverträglich mit \(GA\). (2) Auch in \(PM_2\) kann dieses Theorem nicht vorkommen. \(PM_2\) muß \(RA\) oder ein Analogon enthalten, wenn dieses Theorem zu \(PM_2\) gehören soll. Aus diesen schönen Resultaten ergibt sich, daß die beiden Untersuchungen des Verf. als grundlegende Beiträge zur Syntax von \(PM\) zu beurteilen sind.