Recherches sur l'équivalence, la négation et la réciprocité dans le calcul des propositions. (Q2593899)

Der Aussagenkalkül in Negation (\(Np = \text{non}\,p\)), Äquivalenz (\(Epq = (p\;\text{et}\;q)\;\text{vel}\;(\text{non}\;p\;\text{et}\;\text{non}\;q)\)), Unverträglichkeit (\(Rpq = (p\;\text{et non}\;q)\;\text{vel}\;(q\;\text{et non}\;p)\)) wurde vom Verf. axiomatisiert (Ann. sci. Univ. Jassy I 23 (1937), 369-408; 24 (1938), 116-153; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 24; \(64_{\text{I}}\), 28) in dem Sinne, daß alle in \(N\), \(E\), \(R\) identisch wahren Ausdrücke mit Hilfe der üblichen Einsetzungsregel und einer modifizierten Abtren\-nungsregel (wenn \(\alpha\) und \(E\alpha\alpha^*\) aus einer Ausdrucksmenge ableitbar sind, so ist aus ihr auch \(\alpha^*\) ableitbar) ableitbar sind aus: (1) \(EEpqEqp\), (2) \(EEEpqrEpEqr\), (3) \(EENpNqEpq\), (4) \(ERpqNEpq\). In der vorliegenden Arbeit wird zunächst gezeigt, daß dieses Axiomensystem widerspruchsfrei und unabhängig ist. Weiter folgt dann ein Beweis dafür, daß dieses System jedoch nicht vollständig ist in dem Sinne, daß ein beliebiger nicht ableitbarer Ausdruck zum System zugefügt jeden Ausdruck ableitbar macht. Vielmehr zer\-fallen die Ausdrücke in drei Klassen: (1) Wenn (a) \(\alpha\) ein Ausdruck in \(N\), \(E\), \(R\) ist, (b) \(\alpha\) eine gerade Anzahl mal die Funktoren \(R\) und \(N\) enthält, und (c) jede Aus\-sagenvariable, falls sie vorkommt, eine gerade Anzahl mal vorkommt, so ist \(\alpha\) aus diesem Axiomensystem ableitbar. (2) Wenn (a) \(\alpha\) ein Ausdruck in \(N\), \(E\), \(R\) ist, (b) \(\alpha\) eine ungerade Anzahl mal die Funktoren \(R\) und \(N\) enthält und (c) jede Aussagenvariable, falls sie vorkommt, eine gerade Anzahl mal vorkommt, so macht \(\alpha\) -- ohne selbst ableitbar zu sein -- zum Axiomensystem zugefügt, nicht jeden Ausdruck ableitbar; Ausdrücke dieser Art heißen freie Ausdrücke; alle freien Ausdrücke sind gleichwertig (d. h. ihre Äquivalenz ist ableitbar) einem der untereinander gleichwertigen Aus\-drücke: \(Rpp\), \(ENpp\), \(NEpp\), \(EpNp\). (3) Die übrigen Ausdrücke in \(N\), \(E\), \(R\), die wenigstens eine Aussagenvariable enthalten, die eine ungerade Anzahl mal vor\-kommt, ergeben, zum Axiomensystem zugefügt, die Ableitbarkeit jedes Ausdrucks. Der Beweis für die vorstehenden Behauptungen wird geführt über zwei Theoreme, die zu jedem Ausdruck eine gleichwertige Normalform einer gewissen einfachen Struktur anzugeben gestatten. Die vorstehenden Theoreme sind bemerkenswert insofern, als hier gezeigt wird, daß auch in gewissen Aussagenkalkülen aus der ``semantischen'' Vollständigkeit nicht die ``Postsche'' Vollständigkeit folgt. Ähnliche Resultate hatte Verf. (a. a. O.) für die Kalküle in \(E\), \(N\) und \(E\), \(R\) schon angegeben. Für die Kalküle, die die Impli\-kation enthalten und deren Ableitbarkeitsbegriff auf der üblichen Einsetzungs- und Abtrennungsregel aufgebaut ist, gilt dagegen, daß sie, wenn sie semantisch voll\-ständig sind, auch vollständig im Postschen Sinne sind (vgl. das demnächst erschei\-nende Heft 8 der Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissen\-schaften).