On the extension of Fermat's theorem to matrices of order \(n\). (Q2593947)

\(A\) sei eine \(n\)-reihige quadratische Matrix mit ganzen rationalen Elementen, \(|A|\) sei prim zu einer fest gewählten Primzahl \(p\). Gesucht ist der kleinste Exponent \(q\), für den \(A^q\equiv E\pmod p\) gilt. Die nichtsingulären Restklassenmatrizen, deren Elemente die Werte \(0,1,\dots, p-1\) besitzen, bilden eine Gruppe der Ordnung \(\prod\limits_{i=0}^{n-1} (p^n-p^i)\), die ein Vielfaches von \(q\) ist. Jede Matrix \(A\) genügt einer Gleichung \(P(x)=0\) vom Grad \(n\). Ist die Gleichung irreduzibel, so erhält man \(p^n-1\) von null verschiedene Reste von \(x^r\) mod \(P(x)\), diese werden mod \(p\) betrachtet. \(P(x)\) ist daher mod \(p\) ein Faktor von \(x^{p^n-1}-1\). Für reduzibles \(P(x)\) folgt durch wiederholte Anwendung des Fermatschen Satzes für Zahlen durch vollständige Induktion nach \(n\) unter Berücksichtigung der möglichen Aufspaltungen von \(P(x)\) die auch für irreduzibles \(P(x)\) gültige Reduktionsformel \(q=p^rq_n\), wo \(p^r\) die kleinste \(p\)-Potenz \(\leqq n\) und \(q_n\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(q_{n-1}\) und \(p^n-1\) mit \(q_1=p-1\) sind.