Representations of complex numbers by sums of powers of polynomials. (Q2594093)

In Verallgemeinerung des Ergebnisses der vorstehend besprochenen Arbeit beweist Verf.: \[ \varphi(x)=\gamma x^m+\gamma_1x^{m-1}+\cdots+\gamma_m \] sei ein gegebenes Polynom, wo \(\gamma, \,\gamma_1, \ldots \!, \gamma_m\) reell und \(\gamma > 0\) ist. \(a + bi\) sei eine gegebene komplexe Zahl mit \(a>\dfrac{1}{m}\), \(b \neq 0\). Mit der Bezeichnung \(n = [ma] + 2\) sei \(r\) eine ganze Zahl, für die \[ r \geqq r_0=\left[ \frac{2n}{\varrho_n} \right]+1= \frac{2n}{\varrho_n}+\varepsilon' \qquad (0<\varepsilon' \leqq 1) \] gilt, wobei \[ \varrho_n=\left\{ \begin{aligned} 2^{-n} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;& \text{für} \;\; n<14,\\ (2(n+1)^3 \,\log \,2(n+1))^{-1} \;\; & \text{für} \;\; n \geqq 14 \end{aligned} \right\} \] gesetzt werden kann. Dann hat man für die Anzahl \(I_N\) der Darstellungen einer beliebigen komplexen Zahl \(N = N_1 + N_2i\) in der Form \[ N_1 + N_2i=h_1+h_2i+\sum_{\lambda=1}^{r} (\varphi(x_{\lambda}))^{a+bi}, \] wo die \(x_{\lambda}\) natürliche Zahlen mit \[ 0<x_{\lambda}<X=\gamma^{-\frac{1}{m}} \, |\,N\,|^{\frac{1}{ma}} \qquad (\lambda=1, \ldots \!, r) \] sind und für \(h_1\), \(h_2\) die Ungleichungen \[ -X^{-\alpha} \leqq h_1 \leqq X^{-\alpha}, \quad -X^{-\alpha} \leqq h_2 \leqq X^{-\alpha}, \] \[ \alpha=\frac{(n-ma-1) \,\varepsilon'}{r_0} \] gelten, die asymptotische Formel \[ I_N=LX^{r-2ma-2\alpha}(1+O(X^{-\alpha})), \] wo \(L\) eine positive Konstante übertrifft, die nur von \(a\), \(b\), \(m\), \(\gamma\) und \(r\) abhängt.