Über die Unabhängigkeit des Wohlordnungssatzes vom Ordnungsprinzip. (Q2594111)

In der vorliegenden Arbeit beweist Verf., daß das Auswahlaxiom von dem Ordnungsprinzip, d. h. dem Satze, daß jede Menge geordnet werden kann, unabhängig ist. Die Frage, ob eine solche Unabhängigkeit besteht, rührt von \textit{A. Fraenkel} [Einleitung in die Mengenlehre, 3. Aufl. (1928; JFM 54.0086.01), 320] her. Der hier gegebene Beweis wird so geführt: Verf. legt ein System \(\mathfrak{S}\) der Mengenlehre zugrunde, das im wesentlichen von \textit{Bernays} [J. Symb. Logic 2, 65--77 (1937; JFM 63.0028.01)] herrührt; dabei wird das Bestimmtheitsaxiom anders gefaßt, damit die Existenz von Urelementen, d. h. Dingen, die keine Mengen sind, gesichert werden kann. Er bildet danach \(\mathfrak{S}\) in ein passend gewähltes anderes mengentheoretisches System \(\mathfrak{S}'\) so ab, daß dadurch alle Axiome von \(\mathfrak{S}\) und das Ordnungsprinzip in beweisbare Sätze des Systems \(\mathfrak{S}'\) übergehen, der Wohlordnungssatz dagegen in die Negation eines beweisbaren Satzes. Das System \(\mathfrak{S}'\) kann in verschiedener Weise gewählt werden; Verf. wählt das System von \textit{J. von Neumann} [Math. Z. 27, 669--752 (1928; JFM 54.0088.02)]. Ein genaueres Eingehen auf den weitläufigen Beweis würde sehr viele Erklärungen erfordern; aber die folgenden Bemerkungen geben jedenfalls eine Idee von der Natur der angestellten Betrachtungen. Um das Modell von \(\mathfrak{S}\) in \(\mathfrak{S}'\) herzustellen, wird zuerst \(\varSigma_{\xi}(x)\) induktiv definiert, nämlich so: \(\varSigma_0(x)=x\), und für jede Ordnungszahl \(\xi > 0\) ist \(\varSigma_{\xi}(x)\) die Menge aller \(t\) derart, daß entweder \(t \in x\) ist, oder ein \(z\) und ein \(\eta<\xi\) existieren derart, daß \(t \in z \in \varSigma_{\eta}(x)\). \(Z\) ist die Menge aller \(a_n\), wobei \(a_0 = 0\), \(a_{n+1}=\{a_n\}\); \(\varLambda_n\) ist \(=Z-\{a_n\}\) und \(K\) die Menge aller \(\varLambda_n\). Weiter wird \(K_{\xi}\) induktiv definiert: \(K_0=K+\{\varLambda_0\}\), \(K_{\xi}=\sum\limits_{\eta<\xi} K_{\eta}+\mathfrak{P} \left( \sum\limits_{\eta<\xi} K_{\eta} \right)\) für \(\xi > 0\), wobei \(\mathfrak{P}x\) die Menge aller nichtleeren Teilmengen von \(x\) bedeutet. \(\mathfrak{M}\) ist der Bereich aller \(x\), für die es ein \(\xi\) mit \(x \in K_{\xi}\) gibt. \(G_0\) ist das System aller eineindeutigen Abbildungen von \(K\) auf sich selbst. \(\mathfrak{G}\) ist das System aller Untergruppen von \(G_0\). Eine Menge \(M \subset \mathfrak{P}(K)\) heißt \(G\)-Ring, wenn \(G \in \mathfrak{G}\) und aus \(X, \,Y \in M\) immer \(X + Y \in M\) folgt, \(\sum\limits_{X \in M} X=K\) ist und aus \(X \in M\), \(\varphi \in G\) stets \(\varphi(X) \in M\) folgt. \(R(G)\) ist das System aller \(G\)-Ringe. Ist \(G \in \mathfrak{G}\), \(M \in R(G)\) so heißt \(x \in \mathfrak{M}\) ein \(M\), \(G\)-ausgezeichnetes Element, wenn ein \(A \in M\) existiert, so daß \(x \in K_G(A)\) ist und stets \(\varSigma_{\xi}(x) \,\mathfrak{M} \subset \sum\limits_{B \in M} K_G(B)\) gilt; dabei bedeutet \(K_G(A)\) den Bereich aller \(x \in \mathfrak{M}\), so daß \(|\, \varphi, \,x \,|=x\) ist für alle \(\varphi \in G\) derart, daß \(\varphi(x) = x\) ist für \(x \in A\), und \(|\, \varphi, \,x \,|\) wird induktiv so definiert: \(|\, \varphi, \,\varLambda_0 \,|=\varLambda_0\); \(|\, \varphi, \,x \,|=\varphi(x)\) für \(x \in K\); \(|\, \varphi, \,x \,|\) die Menge aller \(|\, \varphi, \,y \,|\) mit \(y \in x\), wenn \(x \in \mathfrak{M}\) aber nicht \(x \in K_0\) ist. Der Bereich aller \(M\), \(G\)-ausgezeichneten Elemente heißt \(\mathfrak{W}_{M,G}\). Ein Bereich \(\mathfrak{A}\) heißt \(M\), \(G\)-ausgezeichnet, wenn entweder \(\mathfrak{A}=\varLambda_0\) oder \(0 \neq \mathfrak{A} \subset \mathfrak{W}_{M,G}\) und ein \(A \in M\) existiert, so daß \(x \in \mathfrak{A}\) mit \(|\, \varphi, \,x \,| \in \mathfrak{A}\) für jede Funktion \(\varphi \in G(A)\) äquivalent ist. Dann lautet das Haupttheorem so: Ist \(G \in \mathfrak{G}\) und \(M \in R(G)\), und ersetzt man in den Axiomen des Systems \(\mathfrak{S}\) die Worte ``Individuum'', ``Klasse'', ``\(\varLambda\)'' bzw. durch die Worte ``\(M, \,G\)-ausgezeichnetes Element'', ``\(M, \,G\)-ausgezeichneter Bereich'', ``\(\varLambda_0\)'', so gehen alle Axiome des Systems \(\mathfrak{S}\) in richtige Aussagen über. Dabei ist \(\varLambda\) ein Individuum im System \(\mathfrak{S}\), so daß für keine \(x\), \(x \in \varLambda\) gilt.