On well-ordered subsets of any set. (Q2594112)

In {\S} 1 beweist Verf. ohne Anwendung des Auswahl- und Ersetzungsaxioms einige Sätze, die mit dem Satze \(\overline{\overline{UM}}>\overline{\overline{M}}\) von Cantor und dem Wohlordnungssatz von Zermelo verwandt sind. Z. B. beweist er die Sätze: Ist \(S\) das System aller Mengen \(X \subset M\) derart, daß \(\overline{\overline{X}}<\overline{\overline{M}}\) ist, und ist \(\overline{\overline{M}}=\overline{\overline{S}}\), so können \(M\) und \(S\) wohlgeordnet werden. Ist \(S\) das System aller wohlordnungsfähigen Untermengen von \(M\), so ist \(\overline{\overline{M}}<\overline{\overline{S}}\); dies ist offenbar eine Verschärfung des Cantorschen Satzes. Ein Korollar ist: Hat die Menge aller (höchstens) abzählbaren Mengen reeller Zahlen die Mächtigkeit \(2^{\aleph_0}\), so gibt es eine Menge \(N\) reeller Zahlen mit der Mächtigkeit \(\aleph_1\). Mit Hilfe dieser Resultate formuliert Verf. in {\S} 2 zwei Sätze \(\mathfrak{A}_1\) und \(\mathfrak{A}_2\), die mit dem Auswahlpostulat gleichwertig sind. Am einfachsten ist \(\mathfrak{A}_2\) nämlich: Zu jeder Menge \(N\) gibt es eine Menge \(M\) derart, daß \(\overline{\overline{M}}=\overline{\overline{S}}\) ist, wobei \(S\) das System aller Mengen \(X \subset M\) ist, die keine Untermenge derselben Mächtigkeit wie \(N\) enthalten. Er beweist, daß \(\mathfrak{A}_1\) aus dem Auswahlaxiom folgt, ebenso \(\mathfrak{A}_2\) aus \(\mathfrak{A}_1\) und endlich das Auswahlaxiom aus \(\mathfrak{A}_2\). Zum Schlusse gibt er zwei Formulierungen \(\mathfrak{A}\) und \(\mathfrak{B}\) eines Axioms zur Sicherung der Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen. Besonders bemerkenswert ist es, daß das Auswahlaxiom ein beweisbarer Satz wird, wenn \(\mathfrak{A}\) oder \(\mathfrak{B}\) zu dem Zermeloschen oder Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystem hinzugefügt wird.