Sur les fonctions convexes. (Q2594181)

Verf. gibt einen einfachen Beweis folgender, für die konvexen Funktionen \(f(x)\) einer reellen Veränderlichen \textit{kennzeichnenden} Darstellung: \(f(x) = \overline{\underset{-\infty<t<+\infty}{\text{Grenze}}} [xt - \varphi(t)]\), wo \(\varphi(t)\) eine für \(-\infty < t<+\infty\) endliche, im übrigen beliebige, reelle Funktion ist. Jede solche Funktion \(f(x)\) ist also konvex, und umgekehrt gestattet jede, für alle \(x\) erklärte konvexe Funktion \(f(x)\) eine solche Darstellung, z. B. mit \(\varphi(t) = \overline{\underset{-\infty<x<+\infty}{\text{Grenze}}} [xt - f(x)]\); dieses \(\varphi(t)\) ist also selbst konvex.